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Morocco
\( \cos ^ { 4 } - x - \sin ^ { 4 } x = ( \sqrt { 2 } \cos x - 1 ) ( \sqrt { 2 } \operatorname { cen } x + 1 \)
Trigonometry Mar 03, 2025
Soit \( \left(u_{n}\right) \) une suite numérique définie par : \( u_{0}=3 \) et \( u_{n+1}=\frac{1}{5} u_{n}+\frac{8}{5} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \) 1)Calculer \( u_{1} \) et \( u_{2} \). 2) Montrer par récurrence que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n} \succ 2 \) 3)a-Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1}-u_{n}=-\frac{4}{5}\left(u_{n}-2\right) \). b-En déduire que la suite \( \left(u_{n}\right) \) est décroissante. 4)On pose \( v_{n}=u_{n}-2 \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). a-Montrer que \( \left(v_{n}\right) \) est une suite géométrique de raison \( q=\frac{1}{5} \). puis calculer \( v_{0} \). b-Exprimer \( v_{n} \) en fonction de \( n \).
Pre Calculus Mar 02, 2025
4 Soit \( M, N \) et \( P \) des points tels que \( P \) est le milieu du segment \( [M N] \). Déterminer les coordonnées du point \( P \) dans chacun des cas suivants: 1) \( M(3 ; 4 \sqrt{2}) \) et \( N(-3 ; 2 \sqrt{2}) \) 2) \( M\left(2 ; \frac{3}{2}\right) \) et \( N\left(-\frac{1}{2} ; \frac{1}{4}\right) \) 3) \( M(-2 \sqrt{2} ; 2 \sqrt{2}) \) et \( N(2 \sqrt{2} ;-2 \sqrt{2}) \) 4) \( M\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}} ; 1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \) et \( N\left(\frac{1}{\sqrt{2}} ;-1\right) \)
Geometry Mar 02, 2025
EXERCICE II Le chlorure de calcium est un sel blane hygroscopique, on le trouve sous sa forme dihydratec \( \mathrm{CaCl}_{2}, 2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} \) 1) Calculer la quantité en gramme de ce sel pour préparer 1 litre de la solution \( \mathrm{S}_{1} \) de concentration 0,1 mol L- 2) On prellève \( \mathrm{V}_{1}=80 \mathrm{~mL} \) de la solution \( \mathrm{S}_{1} \) pour préparer par dilution 100 mL de solution \( \mathrm{S}_{2} \) de concentration \( \mathrm{C}_{2} \). Calculer la concentration molaire \( \mathrm{C}_{2} \) et deduire le facteur de dilution. Donnfe: \( \mathrm{M}(\mathrm{Ca})=40 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} \) EXERCICE III Sur un flacon d'acide perchlorique cornmercial HClO \& est noté le pourcentage massique d'acide \( 70 \% \) et de masse volumique de \( 1,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} \). 1) Déterminer la concentration molaire, la normalité ct la molalité de cette solution. 2) Calculer le volume d'ear qu'il faut ajouter à 100 mL de la solution d'acide concentrée pour obtenir une solution diluée à 1 M EXERCICETV Salcuier leo concerirrations molaires des solutions aqueuses obtenues en : a) Dissolvani 43 g d'acide lactique \( \left(\mathrm{CH}_{3} \mathrm{CHOHCOOH}\right) \) dans l'eau et en portant le volume à 500 mL . b) Diluant 25 mL de la solution (a) jusqu'à atteindre 250 mL . c) Diluant 10 mL de la solution (b) jusqu'à atteindre 1 L .
Chemistry Mar 02, 2025
5) On considère la courbe \( (C) \) d'équations paramétriques: \( x(t)=\frac{1}{4}(3 \cos t+\cos 3 t), y(t)=\frac{1}{4}(3 \sin t-\sin 3 t) \) a) Donner l'équation de la tangente \( (T) \) à la courbe en un point \( M(t) \) b) Soit \( H \) l'intersection de la tangente \( (T) \) avec l'axe Ox et \( K \) l'intersection de la tangente (T) avec l'axe \( O y \) l Déterminer \( H \) et \( K \) et montrer que la distance \( H K \) est constante.
Calculus Mar 01, 2025
Exercice 4: On considère la courbe \( (C) \) d'équation : \( x=\operatorname{sint} \times \operatorname{cost} \) \( y=\cos ^{2} t \quad t \in[0, \pi / 2] \) \( z= \) sint Déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point \( M \)
Calculus Mar 01, 2025
Exercice 4: \( \begin{array}{l}\text { On considère la courbe }(C) \text { d'équation: } \\ x=\operatorname{sint} \times \operatorname{cost} \\ y=\cos ^{2} t \quad t \in[0, \pi / 2] \\ z=\operatorname{sint} \\ \text { Déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point } M(t)\end{array} \)
Calculus Mar 01, 2025
Exercice 4: \( \begin{array}{l}\text { On considère la courbe }(C) \text { d'équation: } \\ x=\operatorname{sint} \times \operatorname{cost} \\ y=\cos ^{2} t \quad t \in[0, \pi / 2] \\ z=\operatorname{sint} \\ \text { Déterminer le repère de Frenet, la courbure et la torsion en un point } M(t)\end{array} \)
Calculus Mar 01, 2025
Exercice \( 3:(2,5 \) points \( ) \) Soit C la courbe d'équation polaire \( r(\theta)=a b^{\theta} \), a et b sont deux réels strictement positifs On note \( \alpha \) l'angle que fait la tangente en un point \( M(\theta) \) de la courbe avec la droite \( (O M(\theta)) \). Montrer que \( \cos \alpha \) ne dépend pas du point \( M(\theta) \)
Calculus Mar 01, 2025
Exercice \( 5:(3 \) points) Soit (C) une courbe dans l'espace vérifiant : Pour tout \( t \in I \), on a \( 2 \sqrt{x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t)}=\sqrt{3} \) On pose \( \mathrm{M}(\mathrm{t})=(\mathrm{x}(\mathrm{t}), \mathrm{y}(\mathrm{t}), \mathrm{z}(\mathrm{t})) \) et \( R=R(M(t), \vec{u}, \vec{N}, \vec{B}) \) le repère de Frenet au point \( \mathrm{M}(\mathrm{t}) \) R : Rayon de courbure \( \mathrm{T}: \) Rayon de torsion 1) Montrer que \( \overrightarrow{N .} \overrightarrow{O M}=-R \quad \) 2) En déduire une relation entre \( \vec{B}, \overrightarrow{O M}, T \ldots \).et. \( R^{\prime}(s) \) (s : abscisse curviligne) et une relation de la forme \( \mathrm{A}(\mathrm{s}) \mathrm{R}^{\prime \prime}(\mathrm{s})+\mathrm{B}(\mathrm{s}) \mathrm{R}^{\prime}(\mathrm{s})+\mathrm{C}(\mathrm{s})=0 . \quad(\mathrm{A}(\mathrm{s}), \mathrm{B}(\mathrm{s}) \) et \( \mathrm{C}(\mathrm{s}) \) sont des fonctions de s à déterminer)
Calculus Mar 01, 2025
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