¿Qué son las matrices conmutativas en álgebra lineal?

El álgebra elemental nos introduce a un concepto esencial llamado la Propiedad Conmutativa que rige por igual las operaciones de suma y multiplicación. Al considerar dos números cualesquiera, a y b, las ecuaciones como a + b = b + a o a x b = b x a siempre se cumplen para las operaciones de suma o multiplicación, respectivamente. Esto simplifica los cálculos mientras sirve como la base para operaciones algebraicas más complejas; sin embargo, cuando ingresamos al álgebra lineal, las cosas se vuelven más intrincadas; mientras que la suma de matrices puede adherirse a esta propiedad conmutativa, la multiplicación de matrices puede no hacerlo, llevándonos a preguntar, "¿Cuáles son las reglas operativas que las matrices en álgebra lineal siguen?" y "¿Qué son las matrices conmutativas?"

H2: Definición Básica de Matrices Conmutativas

H3: Definición de Matrices Conmutativas

El álgebra lineal define dos matrices, A y B, como conmutativas cuando su producto no depende del orden de multiplicación aplicado; es decir, AB = BA. Esta propiedad es particularmente significativa ya que la multiplicación de matrices a menudo no es conmutativa comparada con la simple suma o resta; por lo tanto, para que exista un estado de conmutatividad apropiado, deben cumplir esta condición para conmutar correctamente, lo cual tiene efectos de gran alcance en aplicaciones matemáticas y físicas.

Ejemplos:

Considere las siguientes matrices 2 × 2:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Para verificar si A y B conmutan, calculamos AB y BA:

\[AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

\[BA = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\]

Como AB ≠ BA, estas matrices no conmutan. Ahora, considere dos matrices diagonales:

\[C = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\]

\[CD = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix}\]

\[DC = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 0 \\ 0 & 24 \end{pmatrix}\]

Aquí, CD = DC, así que C y D conmutan.

Reglas Clave para Operaciones con Matrices en Álgebra Lineal

Cálculos con matrices en álgebra lineal no siguen exactamente las mismas reglas operativas que el álgebra elemental: La suma tiene la propiedad conmutativa, mientras que la multiplicación no.

La suma de matrices en álgebra lineal sigue la propiedad conmutativa, de modo que para cualquier par de matrices de dimensiones idénticas A y B con dimensiones iguales, A + B = B + A. Esto generalmente se sostiene cuando se trata de la multiplicación de matrices entre A y B, ya que esto requiere sumar productos de las filas y columnas de una matriz contra las de otra matriz; aquí el orden de multiplicación se vuelve importante. 

Ejemplos:

Para ilustrar, considere las matrices:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]

Para la suma:

\[A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\]

\[B + A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}\]

Claramente, A + B = B + A.

Para la multiplicación:

\[AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\]

\[BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Aquí, AB ≠ BA, demostrando que la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Características de las Matrices Conmutativas

Las Matrices Conmutativas Conservan los Espacios Propios de Otras

Una característica notable de las matrices conmutativas es su capacidad para mantener los espacios propios de otras matrices. Si A y B son matrices conmutativas con el vector v teniendo valor propio l, este vector también debe aparecer en la lista de vectores propios de B, o cambiaría significativamente su estructura física si la acción tomada contra el espacio propio de A por B no la afecta significativamente físicamente. Esta propiedad asegura que los cambios realizados contra su estructura física por cualquiera de las partes no cambian significativamente A.

Como ilustración, consideremos dos matrices conmutativas A y B que conmutan, tal que \(Av = \lambda v\) para algún vector propio v y valor propio l; dado que A y B conmutan, obtenemos:

\(ABv = BAv = B(\lambda v) = \lambda Bv\)

Esta ecuación muestra que Bv también es un vector propio de A correspondiente al mismo valor propio λ. Por lo tanto, el espacio propio asociado con λ para A es invariante bajo la acción de B.

Dos Matrices Conmutativas Comparten un Conjunto Común de Vectores Propios

Las matrices conmutativas tienen la ventaja distintiva de compartir conjuntos comunes de vectores propios, creando una base integral del espacio vectorial que consiste en bases simultáneamente vectores propios para ambas matrices. Esta característica simplifica el análisis de transformaciones lineales.

Considere dos matrices conmutativas A y B. Si v es un vector propio de A con valor propio \(\lambda_A\) y también un vector propio de B con valor propio \(\lambda_B\), entonces:

\[Av = \lambda_A v\]

\[Bv = \lambda_B v\]

Dado que A y B conmutan, podemos usar su proximidad para descubrir un conjunto compartido de vectores propios, lo que permitirá diagonalizar simultáneamente ambas matrices, simplificando así muchos problemas asociados con el álgebra lineal y sus aplicaciones.

La No Transitividad de las Matrices Conmutativas

Las matrices conmutativas tienen una característica inherente conocida como no transitividad, que las distingue de listas convencionales: incluso cuando A conmuta con B, y B conmuta con C, esto no implica automáticamente que A también conmute con C, algo a tener en cuenta al trabajar con estas estructuras. Aunque inicialmente confuso, tener presente este principio puede resultar invaluable al trabajar con estas estructuras.

Considere, por ejemplo, las matrices:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

Aquí, A y B conmutan, y B y C conmutan, pero A y C no conmutan.

\[AB = BA = A\]

\[BC = CB = C\]

\[AC = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

\[CA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Dado que AC ≠ CA, A y C no conmutan, ilustrando la no transitividad de las matrices conmutativas.

Teoremas Relacionados con Matrices Conmutativas

Teorema 1: Cualquier Par de Matrices Diagonales Son Matrices Conmutativas

Un teorema fundamental en álgebra lineal establece que cualquier par de matrices diagonales son conmutativas; es decir, su producto siempre será igual sin importar el orden de la multiplicación, en otras palabras, AB = BA.

Prueba:

Consideremos dos matrices diagonales de n × n A y B:

\[A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix}\]

El producto AB está dado por:

\[AB = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n b_n \end{pmatrix}\]

De manera similar, el producto BA es:

\[BA = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_n a_n \end{pmatrix}\]

Puesto que la multiplicación de escalares es conmutativa, \(a_i b_i = b_i a_i\) para todo i. Por lo tanto, AB = BA, demostrando que cualquier par de matrices diagonales son conmutativas.

Teorema 2: Diferentes Potencias de la Misma Matriz Son Conmutativas

Otro teorema importante afirma que diferentes potencias de la misma matriz son conmutativas. Esto significa que para una matriz dada A, cualquier par de potencias \(A^m\) y \(A^n\) conmutan, es decir, \(A^m A^n = A^n A^m\).

Prueba:

Sea A una matriz de n × n. Necesitamos demostrar que \(A^m\) y \(A^n\) conmutan para cualquier entero no negativo m y n.

Consideramos los productos \(A^m A^n\) y \(A^n A^m\):

\(A^m A^n = A^{m+n}\)

\(A^n A^m = A^{n+m}\)

Puesto que la multiplicación de matrices es asociativa, el orden en que multiplicamos las matrices no afecta el resultado. Por lo tanto, \(A^{m+n} = A^{n+m}\), lo que implica que:

\(A^m A^n = A^n A^m\)

Esto prueba que diferentes potencias de la misma matriz son conmutativas.

Teorema 3: El Teorema Binomial para Matrices Conmutativas

El teorema binomial, que es bien conocido para escalares, también se aplica a matrices conmutativas. Si A y B son dos matrices que conmutan, entonces:

\[(A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}\]

Prueba:

Sean A y B dos matrices que conmutan, es decir, AB = BA. Usaremos inducción matemática para probar el teorema binomial para estas matrices.

Caso base: Para n = 1,

\[(A + B)^1 = A + B\]

que trivialmente satisface el teorema binomial.

Paso inductivo: Supongamos que el teorema binomial se cumple para algún entero n:

\[(A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}\]

Necesitamos demostrar que se cumple para n + 1:

\[(A + B)^{n+1} = (A + B)(A + B)^n\]

Usando la hipótesis inductiva,

\[(A + B)^{n+1} = (A + B) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}\]

Como A y B conmutan, podemos distribuir A + B a través de la suma:

\[(A + B)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (A + B) A^k B^{n-k}\]

\[= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (A^{k+1} B^{n-k} + A^k B^{n-k+1})\]

Reindexando las sumas y combinando términos, obtenemos:

\[(A + B)^{n+1} = A^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right) A^k B^{n+1-k} + B^{n+1}\]

Usando la identidad \(\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}\),

\[(A + B)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} A^k B^{n+1-k}\]

Así, el teorema binomial se cumple para n + 1, completando la inducción.

Teorema 4: Si las Matrices A y B Pueden Ser Diagonalizadas por la Misma Matriz Invertible P, Entonces A y B Son Conmutativas

Este teorema establece que si dos matrices, A y B, pueden ser simultáneamente diagonalizadas por la misma matriz invertible, P, entonces A y B conmutan. En otras palabras, si existe una matriz invertible P tal que \(P^{-1}AP\) y \(P^{-1}BP\) son ambas matrices diagonales, entonces AB = BA.

Prueba:

Supongamos que A y B pueden ser diagonalizadas por la misma matriz invertible P. Esto significa que existen matrices diagonales \(D_A\) y \(D_B\) tales que:

\[P^{-1}AP = D_A\]

\[P^{-1}BP = D_B\]

Para demostrar que A y B conmutan, necesitamos probar que AB = BA.

Consideremos el producto AB:

\[AB = A(PP^{-1}) B = A(PD_BP^{-1}) = (P D_A P^{-1})(P D_B P^{-1})\]

Puesto que \(P^{-1}P = I\), la matriz identidad, tenemos:

\[AB = P D_A (P^{-1} P) D_B P^{-1} = P D_A D_B P^{-1}\]

De forma similar, consideremos el producto \(BA\):

\[BA = B(PP^{-1}) A = B(PD_A P^{-1}) = (P D_B P^{-1})(P D_A P^{-1})\]

\[BA = P D_B (P^{-1} P) D_A P^{-1} = P D_B D_A P^{-1}\]

Puesto que \(D_A\) y \(D_B\) son matrices diagonales, ellas conmutan (como se demostró en el Teorema 1). Por lo tanto, \(D_A D_B = D_B D_A\), y tenemos:

\[AB = P D_A D_B P^{-1} = P D_B D_A P^{-1} = BA\]

Otros Teoremas

Teorema 1:

Si Dos Matrices A y B Tienen Vectores Propios Iguales, Son Conmutativas

Teorema 2:

Cuando dos matrices, A y B, son conmutativas con sus polinomios mínimos coincidiendo con sus polinomios característicos de grado máximo, la matriz B puede expresarse como polinomios de la matriz A.

Teorema 3:

Dadas dos matrices hermitianas, A y B, con espacios propios similares, que luego conmutan (AB = BA siendo igual) y comparten una base ortonormal de vectores propios que conmutan, entonces estos pares de matrices A/B también comparten una base ortonormal de vectores propios entre ellos que también conmutan.

Desarrollo Histórico de las Matrices Conmutativas

Orígenes Tempranos en el Siglo XIX

Las matrices conmutativas fueron introducidas durante el siglo XIX por James Joseph Sylvester y Arthur Cayley, dos matemáticos influyentes de esa era. Sylvester introdujo el término "matriz" en 1850 mientras explicaba su naturaleza como objetos algebraicos con propiedades que incluyen la conmutatividad para simplificar sistemas de ecuaciones lineales; Cayley hizo contribuciones significativas que expandieron este campo aún más.

El artículo de 1858 de Arthur Cayley sobre el Teorema de Cayley-Hamilton estableció la teoría moderna de matrices mostrando cómo las matrices satisfacían sus polinomios característicos. Además, Cayley y Sylvester demostraron cómo las matrices conmutativas podían ser diagonalizadas simultáneamente para propósitos de diagonalización, subrayando aún más su importancia y abriendo nuevos caminos en las matemáticas y ciencias aplicadas.

Madurez y Aplicaciones en el Siglo XX

Desde 1900, se han logrado avances significativos en las matrices conmutativas, particularmente en mecánica cuántica y álgebra lineal. Las relaciones de conmutación entre operadores juegan un papel esencial en la teoría cuántica, como el principio de incertidumbre de Heisenberg. Las matrices conmutativas pueden diagonalizarse instantáneamente para simplificar transformaciones lineales y análisis de sistemas, una habilidad que encuentra aplicación en análisis de estabilidad, modelado de sistemas dinámicos y álgebra lineal numérica, proporcionando más eficiencia y precisión durante los cálculos con matrices.

La habilidad para diagonalizar matrices simultáneamente simplifica enormemente la complejidad de operaciones con matrices, ofreciendo ventajas en aplicaciones que van desde gráficos por computadora y simulaciones de ingeniería hasta transacciones financieras y pronósticos estadísticos, pruebas de irracionalidad estadística e investigación de visión por computadora. Los avances en la comprensión de las matrices conmutativas durante el último siglo han tenido un efecto transformador increíble tanto en la investigación matemática teórica como aplicada, expandiendo el trabajo de los matemáticos del siglo XIX y moldeando los proyectos modernos de investigación en ciencia e ingeniería.

Aplicaciones de Matrices Conmutativas en la Vida Real

Aplicaciones de Matrices Conmutativas en Economía

Las matrices conmutativas juegan un papel integral en la economía, particularmente en modelos de insumo-producto, problemas de optimización y previsión económica. Las matrices conmutativas cumplen una función analítica al garantizar que el orden de las operaciones no altere los resultados generales en los modelos de insumo-producto, ayudando a los economistas a comprender mejor las interdependencias sectoriales. Los modelos de insumo-producto de Leontief utilizan matrices de Leontief para representar los insumos necesarios de un sector para producir el output en otro; cuando estas conmutan, su cálculo simplifica el output económico general así como los impactos debido a cambios en sectores específicos, ayudando a los responsables políticos a planificar intervenciones y analizar choques más rápida y completamente que antes.

Las matrices conmutativas pueden ayudar en el proceso de solución de problemas de optimización que involucran programación lineal, especialmente aquellos que implican programación lineal con restricciones, de manera similar a los modelos económicos que incluyen optimización de una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Además, sus propiedades conmutativas permiten previsiones más confiables, que informan decisiones de manera más precisa sobre políticas monetarias y fiscales. 

H3: Aplicaciones de Matrices Conmutativas en Sistemas de Comunicación

Las matrices conmutativas juegan un papel esencial en los sistemas de comunicación para el procesamiento de señales, corrección de errores y análisis de redes. Al vincular varias etapas de transformación de señales en sus secuencias de tiempo de tránsito, las matrices conmutativas simplifican el diseño y análisis de protocolos al garantizar que su secuencia no influya en el resultado final. Los sistemas MIMO que utilizan múltiples entradas y salidas también se benefician enormemente del uso de dicha optimización al crear algoritmos eficientes de detección/decodificación para mejorar el rendimiento del sistema y así aumentar la funcionalidad general del mismo.

Los códigos de corrección de errores también aprovechan las matrices conmutativas, haciendo que su procesamiento sea más rápido y confiable, características esenciales en sistemas de comunicación de alta velocidad para mantener la integridad de los datos. El análisis de redes utiliza una representación matricial de conexiones y flujos como base para optimizar los esfuerzos de optimización para maximizar el rendimiento de los datos mientras se disminuye la latencia; en general, las matrices conmutativas simplifican operaciones complejas para aumentar la eficiencia y confiabilidad dentro de los sistemas de comunicación, esenciales en la sociedad interconectada de hoy. 

Referencia:

https://www.math.cuhk.edu.hk/course_builder/2324/math1030a/1030b-n01-04-

https://faculty.sites.iastate.edu/ytpoon/files/inline-files/jointNR1015.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices