Una discusión detallada sobre los números complejos

Los números complejos ofrecen una extensión intrigante al sistema de números reales y tienen muchas aplicaciones en diversas disciplinas de matemáticas y ciencia. Se pueden considerar como expresiones que contienen tanto partes reales como imaginarias, típicamente escritas como la expresión\(a+bi\) , donde i representa la unidad imaginaria que satisface \(i^2 = -1\). Los números complejos fueron inventados por primera vez para resolver ecuaciones que no pueden resolverse solo con números reales, como resolver ecuaciones como \(x^2 +1=0\). Hoy en día, los números complejos siguen siendo un componente integral de la teoría matemática moderna y las ciencias aplicadas; su origen se remonta a Europa en el siglo XVI y desempeñan un papel esencial en la ingeniería eléctrica, la dinámica de fluidos, la física cuántica, el procesamiento de señales, así como en aplicaciones de investigación teórica.

Definición Básica de Números Complejos

Conceptos Fundamentales de los Números Complejos

Números Reales y Números Imaginarios

Los números reales representan cantidades a lo largo de una línea continua, como enteros, fracciones y números irracionales. Un número imaginario difiere en que al ser elevado al cuadrado resulta en raíces cuadradas negativas; esta unidad imaginaria fundamental se denota como "\(i\)", con su raíz cuadrada igualando 1. Los números complejos combinan estos dos tipos de números para representar cantidades con componentes tanto reales como imaginarios.

Componentes Básicos de Números Complejos y Unidad Imaginaria (\(i\))

Los números complejos consisten en dos partes principales, la parte real y la parte imaginaria. Generalmente se representan como \(a+bi\), donde a es el componente real y \(bi\) es la parte imaginaria. Una unidad imaginaria llamada \(i\), la cual cumple esta condición, permite que los números complejos extiendan el sistema de números reales proporcionando soluciones a ecuaciones sin soluciones reales, como las relacionadas con la gravedad u osciladores armónicos.

El componente real a de un plano complejo representa puntos en su eje horizontal; el componente imaginario \(bi\) denota puntos en su eje vertical. Juntos, estos componentes ofrecen un marco comprensivo para describir cantidades que tienen tanto magnitud como dirección - aplicable en dominios científicos y de ingeniería.

La unidad imaginaria, a menudo denotada como "\(i\)," es un concepto matemático esencial utilizado para expandir el sistema de números reales en números complejos. Se define por la propiedad \(i^2 = -1\) que no tiene solución en números reales y permite la existencia de números complejos como los expresados usando\(a+bi\)donde ambos elementos a y b son números reales. Además, esta unidad simplifica mucho las ecuaciones de raíces cuadradas, siendo vital para campos como la ingeniería, la física y el análisis complejo.

Como todos sabemos, 0 es un número real y los números reales pertenecen a los números complejos; por lo tanto, también puede considerarse un número complejo y representarse como \(0+0i\) .

Módulo y Valor Absoluto

El módulo (o valor absoluto) de un número complejo se utiliza como indicación de su magnitud en cualquier dirección en el plano complejo. Para un número complejo \(z=a+bi\), el módulo se denota como \(\left| z \right|\) y se calcula usando la fórmula:

\(\left| z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Este cálculo puede considerarse como la distancia euclidiana desde el punto\((a,b)\)que representa \(z\) en el plano complejo hasta su origen \((0,0)\).

Por ejemplo, considere el número complejo \(z=3+4i\). El módulo de \(z\) es:

\(\left| z \right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Esto indica que \(z=3+4i\) hasta el origen está localizado a cinco unidades en el plano complejo.

El concepto de módulo puede ser muy útil en varias aplicaciones, desde ingeniería eléctrica y análisis complejo hasta ingeniería eléctrica y análisis complejo. Proporciona una manera de cuantificar el tamaño de los números complejos además de jugar un papel esencial en la representación polar (donde los números complejos son expresados en términos de su módulo y argumento\((θ)\)).

En general, el módulo de un número complejo es un concepto invaluable que ayuda a entender tanto su significado geométrico como físico, siendo así un activo en las matemáticas teóricas y aplicadas.

Raíces Complejas y Raíces de la Unidad

Las raíces complejas extienden el concepto de raíces más allá de los números reales. Una raíz compleja de cualquier número se define como la solución de una ecuación de la forma \(z^n = k\) con ambos términos siendo números complejos; las raíces de la unidad son casos especiales de dichas raíces complejas ya que satisfacen la ecuación \(z^n = 1\) con todos los números de cero hasta \(n-1\) siendo números complejos y están distribuidos uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo.

Propiedades de los Números Complejos

Conjugado de un Número Complejo, Teorema del Conjugado Complejo

Conjugar números complejos implica cambiar el signo de su parte imaginaria manteniendo su parte real intacta. Para un número complejo \(z=a+bi\) , su conjugado se denota como \(\overline{z}\) y se da por: \(\overline{z} = a - bi\)

El conjugado de un número complejo lo refleja a través del eje real en el plano complejo, proporcionando una operación matemática útil para resolver ecuaciones polinómicas con coeficientes reales y simplificando la división de números complejos. Por ejemplo, si \(z =3+4i\), entonces su conjugado es \(\overline{z}=3−4i\) . Las propiedades del conjugado incluyen \(| \overline{z}|​=z\) y \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}​​\), que son fundamentales en la teoría de números complejos.

El Teorema del Conjugado Complejo afirma que, para cualquier polinomio con coeficientes reales y una raíz compleja \(a+bi\) , su conjugado complejo también debe ser una raíz. Esto asegura que las raíces no reales de polinomios reales siempre ocurran en pares conjugados para preservar su carácter real.

Recíproco de un Número Complejo

El recíproco de un número complejo \(z=a+bi\) se da por \(\frac{1}{z} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}\). Esta fórmula emplea el conjugado para facilitar la división de números complejos estandarizando el denominador.

Ordenamiento de Números Complejos

Los números complejos no siguen un conjunto ordenado de reglas como los números reales; su estructura se apoya en dos dimensiones de espacio en lugar de tres, por lo que no hay una forma definitiva de definir números complejos como uno después del otro de manera clara.

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Operaciones con Números Complejos

Adición de Números Complejos

La suma de números complejos se realiza sumando sus respectivas partes reales e imaginarias. Dado dos números complejos \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\) , su suma\(z = z_1 + z_2\) se calcula como: \(z = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i\) .

Ley de Clausura

La suma de dos números complejos sigue siendo un número complejo.Si \(z_1​\) y \(z_2\) son números complejos, entonces \(z = z_1 + z_2\) es también un número complejo.

Ley Conmutativa

La adición de números complejos es conmutativa, lo que significa que sumar dos números complejos da resultados iguales:\(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).

Ley Asociativa

La adición de números complejos es asociativa, por lo que \((z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)\)

para cualquier número complejo \(z_1, z_2, z_3\)

Elemento Identidad

El elemento identidad para la suma es \(0\) (que puede ser escrito como \(0+0i\)en forma compleja). Para cualquier número complejo \(z=a+bi\): \(z+0=z\).

Elemento Inverso

La suma se puede ilustrar como la negación de números complejos. Para cualquier número complejo \(z=a+bi\), el inverso es \(−z=−a−bi\). Por lo tanto: \(z+(−z)=0\).

Operación de Resta

Restar números complejos se puede realizar de manera similar a sumarlos, dividiendo primero sus componentes reales e imaginarios antes de restar. Para \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\), la diferencia \(z = z_1 - z_2\)​ es:\(z = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i\)

Este método asegura una operación de resta directa respetando las reglas aritméticas aplicables a números reales.

Operación de Multiplicación

Multiplicar números complejos implica mayor complejidad debido a sus unidades imaginarias. Al multiplicar dos números complejos \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\) respectivamente, su producto \(z = z_1 z_2\) se puede determinar usando la propiedad distributiva:

\(z = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i\)

La clave es recordar que \(i^2 = -1\) cuando se combinan partes reales e imaginarias.

Operación de División

Dividir números complejos requiere el uso del conjugado. Para  \(z_1 = a_1 + b_1 i\) y \(z_2 = a_2 + b_2 i\)  el cociente \(z = \frac{z_1}{z_2}\) se obtiene multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:

\(z = \frac{(a_1 + b_1 i)(a_2 - b_2 i)}{(a_2 + b_2 i)(a_2 - b_2 i)} = \frac{1}{a_2^2 + b_2^2} \left( (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (b_1 a_2 + a_1 b_2)i \right)\)

Identidad para Números Complejos

Los números complejos utilizan ceros para la suma, y unos para la multiplicación; por lo tanto, cualquier número complejo como \(z=a+bi\) puede ser escrito como: \(z+0=z\) y \(1=z\), manteniendo su valor original. Estas son seis identidades comúnmente encontradas al trabajar con números complejos que los usuarios frecuentes deben memorizar:

\(\begin{align*} (z_1 + z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2 \\ (z_1 - z_2)^2 &= z_1^2 + z_2^2 - 2z_1z_2 \\ z_1^2 - z_2^2 &= (z_1 + z_2)(z_1 - z_2) \\ (z_1 + z_2)^3 &= z_1^3 + 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 + z_2^3 \\ (z_1 - z_2)^3 &= z_1^3 - 3z_1^2 z_2 + 3z_2^2 z_1 - z_2^3 \\ (z_1 + z_2 + z_3)^2 &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2z_1z_2 + 2z_1z_3 + 2z_2z_3 \end{align*}\)

Representación Geométrica de Números Complejos

¿Qué es el Plano Complejo?

El Plano Complejo, también conocido como plano de Argand, es un gráfico bidimensional donde los números complejos pueden ser representados gráficamente. El eje horizontal representa la parte real mientras que el vertical ilustra la parte imaginaria; para un número complejo \(z =a+bi\) aparecería como el punto \((a,b)\). Esta representación geométrica permite a los usuarios visualizar los números complejos y sus operaciones más fácilmente, mejorando así la comprensión y el análisis.

Argumento de un Número Complejo

El argumento de un número complejo se utiliza para medir el ángulo entre su línea de representación en el plano complejo y el eje real positivo de ese número. Se denota como \(\arg(z)\)o \(\theta\) y da la dirección del número complejo desde el origen.

Para un número complejo \(z=a+bi\) , donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, el argumento \(\theta\) es el ángulo entre el eje real positivo y el segmento de línea que une el origen con el punto \((a,b )\) en el plano complejo.

El argumento \(\theta\) se puede calcular usando la función arcotangente:

\(\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)\)

Sin embargo, se debe tener cuidado para determinar el cuadrante correcto del ángulo ya que la función arcotangente solo devuelve valores entre\(-\frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \frac{\pi}{2}\).

\(\begin{cases} \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) & \text{si } a > 0 \text{ y } b \geq 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \pi & \text{si } a < 0 \\ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + 2\pi & \text{si } a > 0 \text{ y } b < 0 \\ \theta = \frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ y } b > 0 \\ \theta = -\frac{\pi}{2} & \text{si } a = 0 \text{ y } b < 0 \\ \end{cases}\)

Considera el número complejo\(z = 1 + \sqrt{3}i\). Para encontrar el argumento \(\theta\) :

\(\begin{align*} z &= 1 + \sqrt{3}i \\ |z| &= \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \\ \theta &= \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) = \tan^{-1} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \end{align*}\)

Representación Polar de Números Complejos

La representación polar expresa números complejos por su módulo y argumento. En lugar de escribir números complejos como "z" como una ecuación así:
\(z = r (\cos \theta + i \sin \theta)\)，donde \(r =∣z∣\) es el módulo y \(\theta = \arg(z)\) es el argumento. Por ejemplo, \(z=1+i\) puede ser representado como \(\sqrt{2} \left( \cos 4\pi + i \sin 4\pi \right)\)

Aplicación de Coordenadas de Puntos Rotativos

Rotar puntos en el plano complejo con números complejos es sencillo gracias a su representación polar. Un número complejo como \(z = e^{i\varphi}\). puede ser escrito en dos formas polares: una representa su módulo (o magnitud) y la otra su argumento (o ángulo).

Para rotar un número complejo \(z\) por un ángulo \(\varphi\), multiplica \(z\) por \(e^{i\varphi}\). Esta operación resulta en un nuevo número complejo \(z' = z \cdot e^{i\varphi} = r e^{i\theta} \cdot e^{i\varphi} = r e^{i(\theta + \varphi)}\)
El módulo permanece constante en \(r\), mientras que el argumento se convierte en \((\theta + \varphi)\)，rotando efectivamente un punto por ϕ radianes en el plano complejo.

Considera el número complejo\(z=1+i\), que tiene un módulo \(r = \sqrt{2}\) y un argumento \(\theta = 4\pi​\). Para rotar \(z\) por \(2\pi\) radianes:
\(z' = \sqrt{2} e^{i4\pi} \cdot e^{i2\pi} = \sqrt{2} e^{i(4\pi + 2\pi)} = \sqrt{2} e^{i6\pi}\)

Convirtiendo de nuevo a forma rectangular:
\(z' = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i\)

Conocimiento Suplementario de Números Complejos

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler proporciona un increíble puente entre el análisis complejo y la trigonometría, expresada como:\(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)

Esta elegante ecuación sirve como la base para la representación polar de números complejos. Si el ángulo \(\theta = \pi\) se elige como el valor variable para esta fórmula, \(e^{i\pi} + 1 = 0\) aparece, unificando constantes fundamentales de diversos campos matemáticos en un único valor de identidad.

La fórmula de Euler afirma que la exponenciación compleja con un exponente imaginario se puede expresar usando funciones trigonométricas, haciendo de ella una herramienta invaluable para simplificar expresiones con números complejos y tiene aplicaciones de largo alcance en matemáticas e ingeniería.

Procesamiento de Señales: La fórmula de Euler puede usarse para representar señales sinusoidales como exponenciales complejos, simplificando el análisis y la manipulación en el dominio de la frecuencia.

Ingeniería Eléctrica: La fórmula de Euler juega un papel esencial en el análisis de circuitos de CA, donde el voltaje y la corriente pueden representarse como fasores usando la fórmula de Euler. Mecánica Cuántica: La fórmula de Euler sirve para describir funciones de onda y estados cuánticos que a menudo adoptan la forma de exponenciales complejos.

Sistemas de Control: Ayuda en el diseño y análisis de sistemas de control al simplificar representaciones de comportamientos oscilatorios y bucles de retroalimentación.

Rotaciones en el Plano Complejo: La fórmula de Euler puede usarse para realizar rotaciones y transformaciones en planos complejos, convirtiéndola en una herramienta indispensable en campos como gráficos por computadora y robótica.

Teorema de De Moivre

El teorema de De Moivre extiende potencias y raíces de números complejos. Establece que para cualquier entero n y número complejo \(z = re^{i\theta} \quad : \quad z^n = r^n e^{in\theta} = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)\)
Simplifica cálculos que involucran potencias y raíces de números complejos, haciéndolo esencial para resolver ecuaciones polinómicas y analizar funciones periódicas.

Además, este teorema tiene aplicaciones en el procesamiento de señales, ingeniería eléctrica, mecánica cuántica para describir formas de onda y oscilaciones, así como derivar identidades trigonométricas y simplificar fórmulas de múltiples ángulos en matemáticas.

Enteros Gaussianos

Los enteros gaussianos son números complejos con componentes reales e imaginarios expresados como enteros, típicamente expresados en la forma \(a+bi\) donde ambos componentes son enteros. Estos números forman una cuadrícula similar a una matriz en el plano complejo y forman parte del conjunto de números complejos; sus propiedades de factorización únicas les permiten tener muchas aplicaciones en la teoría de números, como resolver ecuaciones polinómicas con soluciones enteras o estudiar propiedades de factorización únicas dentro de todos los números complejos.

Conjunto de Mandelbrot

El conjunto de Mandelbrot es una colección de números complejos que produce un grupo fractal cuando se itera a través de una ecuación cuadrática particular \(z_{n+1} = z_n^2 + c\). Este subconjunto del plano complejo presenta un límite intrincado que exhibe autosemejanza a varias escalas; por lo tanto, es ideal para su estudio en la teoría del caos y la geometría fractal.

Aplicaciones de los Números Complejos en Física

Análisis de Circuitos

Los números complejos se utilizan ampliamente en ingeniería eléctrica para modelar la impedancia. La impedancia representa la resistencia y reactancia en circuitos de CA. La impedancia \(Z\) se expresa como \(Z =R+iX\) , donde \(R\) es la resistencia, y \(X\) la reactancia, facilitando el análisis del comportamiento del circuito.

Movimiento Armónico Simple

El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento periódico en el cual la fuerza restauradora de un objeto se corresponde directamente con su desplazamiento desde el equilibrio, actuando en dirección opuesta a dicho desplazamiento. Este tipo de movimiento periódico se distingue por sus patrones sinusoidales tanto en desplazamiento como en velocidad/aceleración a lo largo del tiempo.

En MAS, un objeto oscila de un lado a otro alrededor de una posición de equilibrio. El movimiento ocurre de tal manera que la aceleración del objeto \(a(t )\) es proporcional a su desplazamiento \(x(t )\) por un factor constante \(-\omega^2\), donde \(\omega\) es la frecuencia angular:\(a(t) = -\omega^2 x(t)\)
Dado esto, el desplazamiento \(x(t )\) como función del tiempo \(t\) puede describirse por:
\(x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)\)，donde \(A\) es la amplitud del movimiento,\(\omega\) es la frecuencia angular, y \(\varphi\) es la constante de fase.

El MAS puede observarse en pequeñas oscilaciones de un péndulo, donde su fuerza restauradora es la gravedad actuando a lo largo de su arco; cuando una masa unida a un resorte se desplaza del equilibrio y se libera, también experimenta MAS; además, las vibraciones dentro de las moléculas a menudo se aproximan al movimiento armónico simple, lo que proporciona información clave sobre la termodinámica y la mecánica cuántica.

Mecánica Cuántica

La ecuación de Schrödinger, un elemento esencial en la mecánica cuántica, utiliza funciones de onda complejas \(\psi(x, t)\) para describir el estado cuántico de las partículas. Estas funciones de onda representan probabilidades mientras muestran comportamientos complejos influenciados por campos potenciales, destacando cómo los números complejos son fundamentales en los sistemas cuánticos.

Procesamiento de Señales

El procesamiento de señales implica analizar, modificar y sintetizar señales para extraer información útil o optimizar la transmisión y el almacenamiento. La manipulación de señales emplea técnicas matemáticas para manipular audio, video, datos de sensores o cualquier otra forma. Por ejemplo, en el procesamiento de audio se emplean técnicas de procesamiento de señales para mejorar la calidad del sonido en música y discursos, haciéndolos más claros y agradables. Las técnicas de procesamiento de imágenes utilizan cámaras digitales y smartphones para mejorar y comprimir imágenes para facilitar su almacenamiento, lo que lleva a fotografías de mayor calidad con requisitos de almacenamiento y uso de ancho de banda reducidos. Mientras tanto, el procesamiento de señales asegura una transmisión de datos eficiente en las redes al disminuir errores y el uso del ancho de banda. Los ingenieros biomédicos utilizan el procesamiento de señales para analizar señales de ECG o MRI para diagnósticos médicos, ayudando a los médicos en el cuidado del paciente. Además, los sistemas de radar y sonar emplean el procesamiento de señales para detectar e interpretar señales para la navegación y el uso militar, aumentando su precisión y fiabilidad.

Función Compleja

Las funciones complejas son funciones matemáticas que convierten números complejos en números complejos. Más específicamente, si \(z\) es un número complejo tal que su valor es igual a \(x +yi\) donde \(x\) y \(y\) son números reales, entonces su función compleja\(f (z )\) puede expresarse en términos de esta fórmula: \(F(z) = u(x,y) + iv(x,y)\), donde ambas funciones de dos variables reales (\(u\) y \(v\) respectivamente) tienen valores reales.

Las funciones complejas extienden el concepto de funciones al dominio complejo, ofreciendo estructuras más intrincadas y comportamientos más complejos que las funciones reales. Heredan muchas propiedades fundamentales asociadas con los números complejos - incluyendo suma, multiplicación y representación en el plano complejo - lo que hace que las funciones complejas sean ideales para operaciones y transformaciones en varios contextos matemáticos o aplicados.

La diferenciabilidad es uno de los signos distintivos de las funciones complejas. Si una función \(f (z)\) cumple con las ecuaciones de Cauchy-Riemann - dos ecuaciones diferenciales parciales diseñadas para asegurar su holomorfía en cada punto dentro de su dominio - entonces se considera diferenciable en el plano complejo.

Las funciones complejas con soluciones diferenciables en todo su dominio son centrales en el análisis complejo, ofreciendo propiedades poderosas como ser representadas como series de potencias.

Ejemplos Relacionados

Cálculos Involucrando la Parte Imaginaria “\(i\)” y Cálculo de Magnitud

Para calcular la magnitud y partes imaginarias de un número complejo \(z=3+4i\) , el módulo es:
\(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
La parte imaginaria es directamente 4i, haciendo estas operaciones esenciales para entender las propiedades de los números complejos y sus equivalentes geométricos en el plano complejo.

Cálculos de Suma, Resta, Multiplicación y División

Suma

Problema : Sumar los números complejos \(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Solución :

Paso 1: Identificar las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Paso 2: Sumar las partes reales. \(3+1=4\)

Paso 3: Sumar las partes imaginarias. \(4i+2i=6i\)

Paso 4: Combinar los resultados. \(z_1 + z_2 = 4 + 6i\)

Respuesta : \(4+6i\)

Resta

Problema : Restar el número complejo \(z_2 = 1 + 2i \quad \text{de} \quad z_1 = 3 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Identificar las partes reales e imaginarias de cada número complejo.
\(z_1 = 3 + 4i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 2i\)

Paso 2: Restar las partes reales. \(3−1=2\)

Paso 3: Restar las partes imaginarias. \(4i−2i=2i\)

Paso 4: Combinar los resultados. \(z_1 - z_2 = 2 + 2i\)

Respuesta : \(2+2i\)

Multiplicación

Problema : Multiplicar los números complejos \(z_1 = 2 + 3i \quad \text{y} \quad z_2 = 1 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Usar la propiedad distributiva (método FOIL) para expandir \((2+3i )(1+4i )\).
\(z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i\)

Paso 2: Realizar la multiplicación para cada término.

\(2 \cdot 1 = 2\)

\(2 \cdot 4i = 8i\)

\(3i \cdot 1 = 3i\)

\(3i \cdot 4i = 12i^2\)

Paso 3: Recordar que \(i^2 = -1\) y combinar términos similares. \(2+8i+3i+12(−1)=2+11i−12\)

Paso 4: Simplificar la expresión. \(2−12+11i=−10+11i\)

Respuesta : \(−10+11i\)

División

Problema : Dividir el número complejo

\(z_1 = 2 + 3i\)

entre

\(z_2 = 1 + 4i\)

Solución :

Paso 1: Escribir la división como una fracción.

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + 3i}{1 + 4i}\)

Paso 2: Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

\(\frac{2 + 3i}{1 + 4i} = \frac{(2 + 3i)(1 - 4i)}{(1 + 4i)(1 - 4i)}\)

Paso 3: Usar la propiedad distributiva para simplificar. Numerador: 

\((2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 4i = 2 - 8i + 3i - 12i^2\)

\(2 - 8i + 3i + 12 = 14 - 5i\)

Denominador: 

\((1 + 4i)(1 - 4i) = 1 \cdot 1 - (4i)^2 = 1 - 16i^2 = 1 + 16 = 17\)

Paso 4: Simplificar la fracción.

\(\frac{14 - 5i}{17} = \frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\)

Respuesta :

\(\frac{14}{17} - \frac{5i}{17}\)
 

referencias:

https://mizar.uwb.edu.pl/fm/1990-1/1-3.pdf#page=77

https://link.springer.com/chapter/10.1007/0-8176-4449-0_5

https://doi.org/10.1080/0025570X.2004.11953236