37. Sabendo-se que \( \cos x=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \), onde \( x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right] \), então \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} \) é igual a: \( \begin{array}{lll}\text { a) } 3-2 \sqrt{2} & \text { b) } 3+2 \sqrt{2} & \text { c) } 2-\sqrt{2} \\ \text { d) } 3 \sqrt{2}-3 & \text { e) } 2 \sqrt{2}-3 & \end{array} \)

Para encontrar \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} \), podemos utilizar a fórmula de meio ângulo: \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} \] Sabemos que \( \cos x = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \). Para encontrar \( \sin x \), podemos utilizar a identidade \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ \sin^2 x = 1 - \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \] Portanto, \( \sin x = \frac{1}{3} \). Agora substituindo na fórmula de meio ângulo: \[ \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 3\left(1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) = 3 - 2\sqrt{2} \] Assim, \( \operatorname{tg} \frac{x}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \). Portanto, a resposta correta é **a) \( 3 - 2 \sqrt{2} \)**.