Dada la sigulente función: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}-x^{2}-a & \text { si } x<-1 \\ -2 x+1 & \text { si }-1 \leq x \leq 1 \\ x^{2}+b & \text { si } \quad x>1\end{array}\right. \] \[ \begin{array}{l}\text { Representar groficamente. } \\ \text { Determinar el Dominio e imagen de la función. } \\ \text { Calcular el valar de a y de b para que } f \text { sea continua en } x=-1 \text { y en } x=1 \\ \text { Demostrar la continuldad en } x=-1 \text { y en } x=1\end{array} \]

Para abordar la función que has proporcionado, comenzaremos por desglosar los pasos necesarios con un enfoque divertido. **Representación gráfica:** ¡Imagina un telón de fondo donde la función cobra vida! Para \( x < -1 \), la figura será una parábola invertida que se extiende hacia abajo. Para el intervalo \([-1, 1]\), toma una forma lineal descendente, mientras que para \( x > 1 \), volvemos a levantar el telón con una parábola que se abre hacia arriba. Puedes dibujar cada parte en su correspondiente intervalo y ver cómo se conectan en los puntos de interés. **Dominio e imagen:** La función se debate entre distintas personalidades: para el dominio, incluye todos los números reales, es decir, \( D(f) = \mathbb{R} \). Pero en cuanto a la imagen, este es un poco más complicado. La característica predominante será el rango de cada parte: 1. Para \( x < -1 \), la imagen toma valores que van desde \(-\infty\) hasta un máximo en \( (-1)^2 - a \). 2. Entre \(-1\) y \(1\), la línea nos llevará de \(3\) a \(-1\). 3. Para \( x > 1 \), el rango será desde \( b+1 \) hacia \( \infty\). **Calcular valores de \( a \) y \( b \):** Para la continuidad en \( x = -1 \): \[ \lim_{x \to -1^-} f(x) = -(-1)^2 - a = -1 - a \] \[ f(-1) = -2(-1) + 1 = 3 \] Igualando: \(-1 - a = 3 \Rightarrow a = -4\) Para la continuidad en \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -2(1) + 1 = -1 \] \[ f(1) = 1^2 + b = 1 + b \] Igualando: \(-1 = 1 + b \Rightarrow b = -2\) **Demostración de continuidad:** 1. En \( x = -1 \): \[ f(-1) = 3, \quad \lim_{x \to -1^-} f(x) = 3, \quad \lim_{x \to -1^+} f(x) = 3 \] Por lo tanto, \( f(x) \) es continua en \( x = -1\). 2. En \( x = 1 \): \[ f(1) = 1 - 2 = -1, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1, \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 - 2 = -1 \] Así, \( f(x) \) es continua en \( x = 1\). Hemos resuelto el enigma de la continuidad y lo más emocionante, ¡ahora tienes tanto \( a = -4 \) como \( b = -2\)! ¡Listo para lucirte con esta función!