La longitud de la curva determinada por la función vectorial $$ \mathbf{r}(t)=\left\langle 10 e^{t} \cos (t), 10 e^{t} \sin (t), 6 e^{t}\right\rangle \operatorname{con} t \in[0,2 \pi] $$ es De ser necesario redondee su respuesta con dos cifras decimales

Question

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Para hallar la longitud de la curva dada por

r(t) = ⟨10 eᵗ cos t, 10 eᵗ sin t, 6 eᵗ⟩  con t ∈ [0, 2π],

debemos calcular

L = ∫₀^(2π) ||r′(t)|| dt.

1. Primero derivamos cada componente de r(t):

• Derivada de 10 eᵗ cos t:
   d/dt[10 eᵗ cos t] = 10 [eᵗ cos t – eᵗ sin t] = 10 eᵗ (cos t – sin t).

• Derivada de 10 eᵗ sin t:
   d/dt[10 eᵗ sin t] = 10 [eᵗ sin t + eᵗ cos t] = 10 eᵗ (sin t + cos t).

• Derivada de 6 eᵗ:
   d/dt[6 eᵗ] = 6 eᵗ.

2. La derivada del vector r(t) es

r′(t) = ⟨10 eᵗ (cos t – sin t), 10 eᵗ (sin t + cos t), 6 eᵗ⟩.

3. Calculamos la norma de r′(t):

||r′(t)|| = √{[10 eᵗ (cos t – sin t)]² + [10 eᵗ (sin t + cos t)]² + [6 eᵗ]²}.

Factorizamos e^(2t):

||r′(t)|| = eᵗ √{100[(cos t – sin t)² + (sin t + cos t)²] + 36}.

4. Notamos que

(cos t – sin t)² = cos²t – 2 sin t cos t + sin²t = 1 – 2 sin t cos t,

(sin t + cos t)² = sin²t + 2 sin t cos t + cos²t = 1 + 2 sin t cos t.

Entonces,
  (cos t – sin t)² + (sin t + cos t)² = (1 – 2 sin t cos t) + (1 + 2 sin t cos t) = 2.

5. Por lo tanto,

||r′(t)|| = eᵗ √(100·2 + 36) = eᵗ √(200 + 36) = eᵗ √236.

Dado que 236 = 4·59, se tiene √236 = 2√59. Así:

||r′(t)|| = 2√59 · eᵗ.

6. La longitud de la curva es entonces

L = ∫₀^(2π) 2√59 · eᵗ dt = 2√59 · ∫₀^(2π) eᵗ dt.

Integrando eᵗ se obtiene:

∫₀^(2π) eᵗ dt = eᵗ |₀^(2π) = e^(2π) – 1.

7. Así, la longitud es

L = 2√59 (e^(2π) – 1).

Si se desea una aproximación numérica con dos cifras decimales, se procede de la siguiente forma:

√59 ≈ 7.68  ⇒ 2√59 ≈ 15.36.

e^(2π) = e^(6.28318) ≈ 535.49  ⇒ e^(2π) – 1 ≈ 534.49.

Multiplicando:

L ≈ 15.36 × 534.49 ≈ 8211.15.

Por lo tanto, redondeando a dos cifras decimales, la longitud de la curva es aproximadamente 8211.15.
La longitud de la curva es aproximadamente 8211.15 unidades.

La longitud de la curva determinada por la función vectorial \( \mathbf{r}(t)=\left\langle 10 e^{t} \cos (t), 10 e^{t} \sin (t), 6 e^{t}\right\rangle \operatorname{con} t \in[0,2 \pi] \) es De ser necesario redondee su respuesta con dos cifras decimales

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