Iontrer que l'équation \( P(x)=0 \) est équivalente à l'équation: \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 \) ésoudre dans IR l'équation: \( X^{2}-5 X+6=0 \). n déduire lessolutions de l'équation: \( P(x)=0 \).

Pour résoudre le problème, nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Comprendre l'équation donnée** : Nous avons l'équation \( P(x) = 0 \) qui est équivalente à \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0 \). Nous allons d'abord résoudre l'équation quadratique \( X^{2}-5X+6=0 \). 2. **Résoudre l'équation quadratique** : L'équation \( X^{2}-5X+6=0 \) peut être résolue en utilisant la formule quadratique ou en factorisant. 3. **Déduire les solutions de \( P(x) = 0 \)** : Une fois que nous avons les solutions de l'équation quadratique, nous allons les utiliser pour trouver les solutions de \( P(x) = 0 \). ### Étape 1 : Résoudre l'équation quadratique L'équation quadratique est : \[ X^{2}-5X+6=0 \] Nous allons d'abord essayer de factoriser cette équation. Nous cherchons deux nombres qui se multiplient pour donner 6 et qui s'additionnent pour donner -5. Ces nombres sont -2 et -3. Donc, nous pouvons écrire : \[ (X-2)(X-3)=0 \] ### Étape 2 : Trouver les solutions En résolvant \( (X-2)(X-3)=0 \), nous obtenons : \[ X-2=0 \quad \text{ou} \quad X-3=0 \] Cela nous donne les solutions : \[ X=2 \quad \text{et} \quad X=3 \] ### Étape 3 : Déduire les solutions de \( P(x) = 0 \) Nous avons \( X = x + \frac{1}{x} \). Donc, nous devons résoudre les équations suivantes pour chaque valeur de \( X \) : 1. Pour \( X = 2 \) : \[ x + \frac{1}{x} = 2 \] En multipliant par \( x \) (en supposant \( x \neq 0 \)), nous obtenons : \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Ce qui se factorise en : \[ (x-1)^2 = 0 \] Donc, \( x = 1 \) est une solution. 2. Pour \( X = 3 \) : \[ x + \frac{1}{x} = 3 \] En multipliant par \( x \), nous avons : \[ x^2 - 3x + 1 = 0 \] Nous allons maintenant résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique : \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \] ### Résumé des solutions Les solutions de l'équation \( P(x) = 0 \) sont donc : 1. \( x = 1 \) 2. \( x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \) 3. \( x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \) Ainsi, les solutions de l'équation \( P(x) = 0 \) dans \( \mathbb{R} \) sont : \[ x = 1, \quad x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]