24) กำหนดให้ \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n} \) เป็นจำดับเรขาดณิต ถ้า \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+ \) \( a_{4}+\ldots+a_{16}=10 \) และ \( a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots-a_{16}=14 \) แล้วอัตราตก ร่วมของถำดับเรขาคณิดนี้ เท่ากับขัตได้ \( \begin{array}{lllll}1 . \frac{1}{6} & 2 . \frac{2}{3} & \text { 3. }-\frac{2}{3} & 4 .-\frac{1}{6} & 5 \cdot \frac{1}{2}\end{array} \)

ตั้งให้ลำดับเรขาคณิตที่กำหนดมีสมาชิก a₁, a₂, …, a₁₆ โดยมีสูตรทั่วไป   aₙ = a₁ · r⁽ⁿ⁻¹⁾  (โดยที่ r คืออัตราส่วนร่วมที่ต้องการหา) จากโจทย์มีข้อมูลสองข้อ   (1) ผลบวกสมาชิก 16 ตัวคือ     S₁₆ = a₁ + a₂ + ⋯ + a₁₆ = a₁ (r¹⁶ – 1)/(r – 1) = 10   (2) ผลบวกแบบสลับเครื่องหมายคือ     T = a₁ – a₂ + a₃ – a₄ + ⋯ – a₁₆ สังเกตว่า   T = a₁ – a₁·r + a₁·r² – a₁·r³ + … + (–1)¹⁵ a₁·r¹⁵     = a₁ [1 – r + r² – r³ + … + (–1)¹⁵r¹⁵] โดยซีรีส์ในวงเล็บเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 1 และอัตราส่วนร่วมเท่ากับ –r ดังนั้น   T = a₁ · [1 – (–r)¹⁶]/(1 – (–r)) แต่เนื่องจากเลขชี้กำลัง 16 เป็นเลขคู่ (–r)¹⁶ = r¹⁶ และ 1 – (–r) = 1 + r     ⇒ T = a₁ (1 – r¹⁶)/(1 + r) = 14 สรุปข้อมูลที่ได้:   [1] a₁ (r¹⁶ – 1)/(r – 1) = 10   [2] a₁ (1 – r¹⁶)/(1 + r) = 14 สังเกตว่า (1 – r¹⁶) = –(r¹⁶ – 1) ดังนั้นสมการที่ [2] สามารถเขียนใหม่ได้เป็น   a₁ [–(r¹⁶ – 1)]/(1 + r) = 14  ⇒  a₁ (r¹⁶ – 1)/(1 + r) = –14 จาก [1] และรูปใหม่ของ [2] นำหารกันเพื่อกำจัด a₁และ (r¹⁶ – 1)   {a₁ (r¹⁶ – 1)/(r – 1)} ÷ {a₁ (r¹⁶ – 1)/(1 + r)} = 10/ (–14)   ⇒ (1 + r)/(r – 1) = –10/14 = –5/7 แก้สมการ (1 + r)/(r – 1) = –5/7   Multiplying cross: 7(1 + r) = –5(r – 1)   ⇒ 7 + 7r = –5r + 5   ⇒ 7r + 5r = 5 – 7   ⇒ 12r = –2   ⇒ r = –2/12 = –1/6 ดังนั้น อัตราส่วนร่วม (อัตราตกร่วม) ของลำดับเรขาคณิตนี้ เท่ากับ –1/6 คำตอบคือ ข้อ 4. –1/6