Resuelve el siguiente problema de programación lineal por método gráfico Halla área factible Halla vértices Halla solución óptima Halla valor óptimo Max \( z=3 x_{1}+3 x_{2} \) s.a. \( 3 x_{1}+7 x_{2} \leq 21 \) \( 5 x_{1}+4 x_{2} \geq 10 \) \( x_{1}, x_{2} \geq 0 \)

Para resolver el problema de programación lineal utilizando el método gráfico, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. Plantear el problema Queremos maximizar la función objetivo: \[ z = 3x_1 + 3x_2 \] sujeta a las siguientes restricciones: 1. \( 3x_1 + 7x_2 \leq 21 \) 2. \( 5x_1 + 4x_2 \geq 10 \) 3. \( x_1, x_2 \geq 0 \) ### 2. Graficar las restricciones Primero, convertimos las desigualdades en ecuaciones para graficarlas. 1. Para la primera restricción \( 3x_1 + 7x_2 = 21 \): - Si \( x_1 = 0 \): \( 7x_2 = 21 \) → \( x_2 = 3 \) (punto (0, 3)) - Si \( x_2 = 0 \): \( 3x_1 = 21 \) → \( x_1 = 7 \) (punto (7, 0)) 2. Para la segunda restricción \( 5x_1 + 4x_2 = 10 \): - Si \( x_1 = 0 \): \( 4x_2 = 10 \) → \( x_2 = 2.5 \) (punto (0, 2.5)) - Si \( x_2 = 0 \): \( 5x_1 = 10 \) → \( x_1 = 2 \) (punto (2, 0)) ### 3. Determinar el área factible Ahora, graficamos las líneas y determinamos el área factible. La región factible es donde se cumplen todas las restricciones. - La primera restricción \( 3x_1 + 7x_2 \leq 21 \) es la región por debajo de la línea. - La segunda restricción \( 5x_1 + 4x_2 \geq 10 \) es la región por encima de la línea. ### 4. Hallar los vértices del área factible Los vértices se encuentran en las intersecciones de las líneas y los ejes. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos restricciones: \[ \begin{align*} 3x_1 + 7x_2 &= 21 \quad (1) \\ 5x_1 + 4x_2 &= 10 \quad (2) \end{align*} \] Resolviendo este sistema, primero despejamos \( x_2 \) de la ecuación (1): \[ 7x_2 = 21 - 3x_1 \implies x_2 = \frac{21 - 3x_1}{7} \] Sustituyendo \( x_2 \) en la ecuación (2): \[ 5x_1 + 4\left(\frac{21 - 3x_1}{7}\right) = 10 \] Multiplicamos por 7 para eliminar el denominador: \[ 35x_1 + 4(21 - 3x_1) = 70 \] Resolviendo: \[ 35x_1 + 84 - 12x_1 = 70 \implies 23x_1 = -14 \implies x_1 = -\frac{14}{23} \] Este valor no es válido ya que \( x_1 \) debe ser mayor o igual a 0. Por lo tanto, debemos encontrar los puntos de intersección con los ejes. ### 5. Hallar la solución óptima Los vértices que se encuentran en el área factible son: 1. Intersección de \( 3x_1 + 7x_2 = 21 \) y el eje \( x_1 \): (7, 0) 2. Intersección de \( 5x_1 + 4x_2 = 10 \) y el eje \( x_2 \): (0, 2.5) 3. Intersección de \( 3x_1 + 7x_2 = 21 \) y el eje \( x_2 \): (0, 3) Ahora evaluamos la función objetivo \( z = 3x_1 + 3x_2 \) en estos vértices: 1. En (7, 0): \( z = 3(7) + 3(0) = 21 \) 2. En (0, 2.5): \( z = 3(0) + 3(2.5) = 7.5 \) 3. En (0, 3): \( z = 3(0) + 3(3) = 9 \) ### 6. Valor óptimo La solución óptima se encuentra en el vértice (7, 0) con un valor óptimo de: \[ \text{Valor óptimo} = 21 \] ### Resumen - **Área factible**: La región delimitada por las restricciones. - **Vértices**: (7, 0), (0, 2.5), (0, 3). - **Solución óptima**: (7, 0). - **Valor óptimo**: 21.