Dada la función \( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+12 x \) Hallar las coordenadas de los extremos relativos.

Primero, se halla la derivada de la función:   f(x) = (1/3)x³ – 4x² + 12x La derivada es:   f '(x) = x² – 8x + 12 Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:   x² – 8x + 12 = 0 Factorizando la ecuación:   (x – 2)(x – 6) = 0 Por lo tanto, los puntos críticos son x = 2 y x = 6. Para determinar la naturaleza de cada extremo, se calcula la segunda derivada:   f ''(x) = 2x – 8 Evaluamos en cada punto crítico: 1. En x = 2:   f ''(2) = 2(2) – 8 = 4 – 8 = –4 (menor que 0)   Así, en x = 2 hay un máximo relativo. 2. En x = 6:   f ''(6) = 2(6) – 8 = 12 – 8 = 4 (mayor que 0)   Así, en x = 6 hay un mínimo relativo. Ahora, se calculan las coordenadas completas: Para x = 2:   f(2) = (1/3)(2)³ – 4(2)² + 12(2)     = (1/3)·8 – 4·4 + 24     = 8/3 – 16 + 24     = 8/3 + 8     = (8 + 24)/3 = 32/3 Por lo que el máximo relativo es: (2, 32/3). Para x = 6:   f(6) = (1/3)(6)³ – 4(6)² + 12(6)     = (1/3)·216 – 4·36 + 72     = 72 – 144 + 72     = 0 Por lo que el mínimo relativo es: (6, 0). Respuesta final:   Máximo relativo en (2, 32/3) y mínimo relativo en (6, 0).