$$ \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-3 x \ y=4 x-2\end{array} \quad ight. $$ GRAFICO

Question

$$ \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-3 x \ y=4 x-2\end{array} \quadight. $$ GRAFICO

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A continuación se explica cómo graficar el sistema de ecuaciones

y = 2x² – 3x  
  y = 4x – 2

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1. CÁLCULO DE LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN

Para encontrar los puntos donde las dos curvas se cruzan, igualamos las expresiones de y:
  2x² – 3x = 4x – 2

Pasos:
 a) Reorganizamos la ecuación:
  2x² – 3x – 4x + 2 = 0 ⟹ 2x² – 7x + 2 = 0

b) Resolvemos la ecuación cuadrática:
  La fórmula general es:  
   x = [7 ± √(7² – 4·2·2)]/(2·2)
  Calculamos el discriminante:
   ∆ = 49 – 16 = 33

Por tanto:
   x₁ = (7 + √33) / 4    y  x₂ = (7 – √33) / 4

c) Para hallar las correspondientes coordenadas en y usamos la ecuación lineal (la más sencilla):
  y = 4x – 2  
 Entonces,
  y₁ = 4·[(7 + √33)/4] – 2 = (7 + √33) – 2 = 5 + √33  
  y₂ = 4·[(7 – √33)/4] – 2 = (7 – √33) – 2 = 5 – √33

Resumen de los puntos de intersección:
  P₁ = ( (7 + √33)/4, 5 + √33 )  
  P₂ = ( (7 – √33)/4, 5 – √33 )

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2. CARACTERÍSTICAS DE CADA GRÁFICA

A) Gráfica de y = 2x² – 3x  
 • Tipo de curva: Parábola que se abre hacia arriba (a = 2 > 0).  
 • Intersecciones con el eje x:
  • Factorizando: y = x(2x – 3) = 0  
   – x = 0  
   – 2x – 3 = 0 ⟹ x = 3/2 = 1.5
 • Intersección con el eje y:
  x = 0 ⟹ y = 0  
 • Vértice de la parábola:  
  La coordenada x del vértice se obtiene con: x_v = –b/(2a)  
   Aquí, b = –3, a = 2 ⟹ x_v = 3/(2·2) = 0.75  
  Para y_v:
   y_v = 2·(0.75)² – 3·(0.75) = 2·0.5625 – 2.25 = 1.125 – 2.25 = –1.125  
  • Así, el vértice es: (0.75, –1.125).

B) Gráfica de y = 4x – 2  
 • Tipo de curva: Recta.  
 • Pendiente: m = 4 (la recta es creciente).  
 • Intersección con el eje y:  
  x = 0 ⟹ y = –2  
 • Intersección con el eje x:  
  y = 0 ⟹ 4x – 2 = 0 ⟹ x = 0.5

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3. REPRESENTACIÓN DEL GRÁFICO

Para graficar el sistema:

• Dibuja un sistema de ejes (x e y) marcando bien los valores y escalas.
• Traza la parábola y = 2x² – 3x:
  – Pasa por (0, 0) y (1.5, 0).
  – Tiene su vértice en (0.75, –1.125).
• Traza la recta y = 4x – 2:
  – Pasa por (0, –2) y por (0.5, 0).
• Marca los puntos de intersección:
  – P₁ = ( (7 + √33)/4, 5 + √33 ) aproximadamente.  
   √33 ≈ 5.7446, luego:  
   x₁ ≈ (7 + 5.7446)/4 = 12.7446/4 ≈ 3.186, y₁ ≈ 5 + 5.7446 = 10.7446  
  – P₂ = ( (7 – √33)/4, 5 – √33 ) aproximadamente:  
   x₂ ≈ (7 – 5.7446)/4 = 1.2554/4 ≈ 0.314,  y₂ ≈ 5 – 5.7446 = –0.7446

De forma esquemática, el gráfico mostraría:

• La parábola abriendo hacia arriba, con su parte baja cerca de (0.75, –1.125) y cruzando al eje x en (0, 0) y (1.5, 0).
  • La recta, bastante inclinada, comenzando en el eje y por (0, –2) y subiendo rápidamente, cruzando el eje x en (0.5, 0) y luego intersecándose con la parábola en los puntos calculados.

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4. CONCLUSIÓN

El sistema de ecuaciones tiene dos puntos de intersección:
  ( (7 + √33)/4, 5 + √33 ) y ( (7 – √33)/4, 5 – √33 ).

La gráfica consiste en la parábola y = 2x² – 3x y la recta y = 4x – 2. Siguiendo los pasos anteriores, se puede dibujar cada curva y marcar sus intersecciones para visualizar la solución del sistema.

¡Con esta información ya puedes realizar el gráfico del sistema!
Para graficar el sistema de ecuaciones: 1. **Puntos de Intersección**: - Calcula las soluciones de $$ 2x² - 3x = 4x - 2 $$, obteniendo $$ x = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{4} $$. - Los puntos de intersección son $$ \left( \frac{7 + \sqrt{33}}{4}, 5 + \sqrt{33} \right) $$ y $$ \left( \frac{7 - \sqrt{33}}{4}, 5 - \sqrt{33} \right) $$. 2. **Parábola $$ y = 2x² - 3x $$**: - Pasa por (0,0) y (1.5,0). - Vértice en (0.75, -1.125). 3. **Recta $$ y = 4x - 2 $$**: - Pasa por (0,-2) y (0.5,0). 4. **Gráfico**: - Dibuja la parábola y la recta en un sistema de ejes. - Marca los puntos de intersección calculados. ¡Así puedes representar el sistema gráficamente!

\( \left\{\begin{array}{l}y=2 x^{2}-3 x \\ y=4 x-2\end{array} \quad\right. \) GRAFICO

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