7. Determine cual o cuales es o son paralelos a \( \boldsymbol{w} \) \[ \boldsymbol{w}=\frac{1}{2} i-\frac{2}{3} j+\frac{3}{4} k \text { : } \] a. \( 6 i-4 j+9 k \) b. \( 12 i+9 k \) c. \( -1 i+\frac{4}{3} j+\frac{3}{2} k \) d. \( \frac{3}{4} i-j+\frac{9}{8} k \)

Para determinar si un vector u es paralelo a w, debe existir un escalar λ tal que   u = λ · w. Dado   w = (1/2) i – (2/3) j + (3/4) k y las siguientes opciones, comprobamos cada una: a) Vector a = 6 i – 4 j + 9 k   • Si a es múltiplo de w, debe existir λ tal que:     (λ/2) = 6 → λ = 12     (–2λ/3) = –4 → λ = 6   Como se obtiene un valor distinto de λ para cada componente, a no es paralelo a w. b) Vector b = 12 i + 9 k   • Comparando componentes:     (λ/2) = 12 → λ = 24     (–2λ/3) = –16, pero b no tiene componente j (sería 0).   Por lo tanto, b no es paralelo a w. c) Vector c = – i + (4/3) j + (3/2) k   • Para i: (λ/2) = –1 → λ = –2   • Para j: (–2λ/3) = –2·(–2)/3 = (4/3) (correcto)   • Para k: (3λ/4) = (3·(–2)/4) = –3/2. Sin embargo, la componente en k de c es 3/2, no –3/2.   Se observa que el signo en la componente k es opuesto, por lo que c no es paralelo a w. d) Vector d = (3/4) i – j + (9/8) k   • Para i: (λ/2) = 3/4 → λ = (3/4)*2 = 3/2   • Para j: (–2λ/3) = –2*(3/2)/3 = – (3/3) = –1   • Para k: (3λ/4) = 3*(3/2)/4 = (9/8)   Las tres componentes son consistentes, por lo que d = (3/2)·w. En conclusión, la única opción que es paralela a w es la opción d.