Pregunta
upstudy study bank question image url

The function \( f(x)=5 x+7 \) is one-to-one. a. Find an equation for \( f^{-1} \), the inverse function. b. Verify that your equation is correct by showing that \( f\left(f^{-1}(x)\right)=x \) and \( f^{-1}(f(x))=x \). a. Select the correct choice below and fill in the answer box(es) to complete your choice. (Simplify your answer. Use integers or fractions for any numbers in the expression.) A. \( f^{-1}(x)= \), for \( x \leq \) B. \( f^{-1}(x)= \) for all \( x \) C. \( f^{-1}(x)= \), for \( x \geq \) D. \( f^{-1}(x)= \), for \( x \neq \)

Ask by Alexander Schneider. in the United States
Mar 17,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The inverse function is \( f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{5} \) for all \( x \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Mind Expander

To find the inverse function \( f^{-1} \) of \( f(x) = 5x + 7 \), we follow these steps: 1. Replace \( f(x) \) with \( y \): \[ y = 5x + 7 \] 2. Swap \( x \) and \( y \) to reflect the inverse: \[ x = 5y + 7 \] 3. Solve for \( y \): \[ x - 7 = 5y \] \[ y = \frac{x - 7}{5} \] Thus, the inverse function is: \[ f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{5} \] In this case, the correct choice is: **B.** \( f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{5} \) for all \( x \). Now let's verify that our inverse function is indeed correct by checking both conditions. 1. **Check** \( f(f^{-1}(x)) = x \): \[ f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 7}{5}\right) = 5\left(\frac{x - 7}{5}\right) + 7 = (x - 7) + 7 = x \] 2. **Check** \( f^{-1}(f(x)) = x \): \[ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(5x + 7) = \frac{(5x + 7) - 7}{5} = \frac{5x}{5} = x \] Both verifications confirm that our inverse function was computed correctly! --- Now, let's add a bit of fun historical tidbits and practical application! Throughout history, mathematicians have considered functions and their inverses for centuries—dating back to the ancients who first grappled with algebraic equations. The inverse concept was formally developed in the context of calculus in the 17th century, with thinkers like Newton and Leibniz paving the way. It’s fascinating to think that such foundational principles continue to be relevant today! In real-world applications, understanding inverse functions is crucial in various fields like engineering and computer science. For instance, when designing algorithms for encryption and decryption, the relationship between a function and its inverse is pivotal. Whether you're coding or plotting graphs, mastering this concept can truly enhance your problem-solving toolkit!

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad