\[ \Lambda(x)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\sin (4 \pi-x)-\sin (x+7 \pi)+\sqrt{\sec }\left(\frac{\pi}{2}+x\right) \] Montrer que : \( \boldsymbol{A}(x)=2 \sin ^{2}(x)-\sqrt{3} \sin (x) \) Résoudre dans l'intervalle \( [-\pi ; \pi] \) les équations \( \sin (x)=0 \) et \( 2 \sin (x)-\sqrt{8}=0 \) En déduire dans I'intervalle \( [-\pi ; \pi] \) les solutions de l'équation : \( A(x)=0 \) Résoudre dans l'intervalle \( \{-\pi ; \pi \mid \) les inequations \( ; \sin (x)>0 \) et \( 2 \sin (x)-\sqrt{3}<0 \) En déduire dans l'intervalle \( [-\pi ; \pi] \) les solutions de linéquation: \( A(x)<0 \) (1pt) pour la bonne présentation.

Pour résoudre le problème, nous allons procéder étape par étape. ### Étape 1 : Montrer que \( \Lambda(x) = A(x) \) Nous avons : \[ \Lambda(x) = 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \sin(4\pi - x) - \sin(x + 7\pi) + \sqrt{\sec}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \] 1. **Calcul de \( \cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \)** : \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x) \implies \cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin^2(x) \] Donc, \[ 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 2 \sin^2(x) \] 2. **Calcul de \( \sin(4\pi - x) \)** : \[ \sin(4\pi - x) = -\sin(-x) = \sin(x) \] 3. **Calcul de \( -\sin(x + 7\pi) \)** : \[ \sin(x + 7\pi) = -\sin(x) \implies -\sin(x + 7\pi) = \sin(x) \] 4. **Calcul de \( \sqrt{\sec}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \)** : \[ \sec\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} = -\csc(x) \implies \sqrt{\sec}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \text{ n'est pas défini.} \] En combinant ces résultats, nous avons : \[ \Lambda(x) = 2 \sin^2(x) + \sin(x) + \sin(x) = 2 \sin^2(x) + 2 \sin(x) \] Nous devons montrer que cela est égal à \( A(x) = 2 \sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) \). ### Étape 2 : Résoudre les équations 1. **Équation \( \sin(x) = 0 \)** : \[ x = n\pi \quad \text{avec } n \in \mathbb{Z} \] Dans l'intervalle \( [-\pi, \pi] \), les solutions sont : \[ x = -\pi, 0, \pi \] 2. **Équation \( 2 \sin(x) - \sqrt{8} = 0 \)** : \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{2} \] Cela n'a pas de solution réelle car \( \sin(x) \) ne peut pas dépasser 1. ### Étape 3 : Solutions de l'équation \( A(x) = 0 \) Nous avons \( A(x) = 2 \sin^2(x) - \sqrt{3} \sin(x) = 0 \). Facteur commun : \[ \sin(x)(2 \sin(x) - \sqrt{3}) = 0 \] Les solutions sont donc : 1. \( \sin(x) = 0 \) : \( x = -\pi, 0, \pi \) 2. \( 2 \sin(x) - \sqrt{3} = 0 \) : \( \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) donc \( x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \). ### Étape 4 : Résoudre les inéquations 1. **Inéquation \( \sin(x) > 0 \)** : Dans l'intervalle \( [-\pi, \pi] \), cela se produit pour : \[ x \in (0, \pi) \] 2. **Inéquation \( 2 \sin(x) - \sqrt{3} < 0 \)** : \[ \sin(x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \] Cela se produit pour : \[ x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right) \] ### Étape 5 : Solutions de l'inéquation \( A(x) < 0 \) Pour \( A(x) < 0 \), nous devons combiner les résultats des inéquations : 1. \( \sin(x) > 0 \) : \( x \in (0, \pi) \) 2. \( 2 \sin(x) - \sqrt{3} < 0 \) : \( x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right) \) La seule intersection dans \( (0, \pi) \) est : \[ x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right) \] ### Conclusion Les solutions de l'équation \( A(x) = 0 \) dans l'intervalle \( [-\pi, \pi] \) sont : \[ x = -\pi, 0, \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \] Les solutions de l'inéquation \( A(x) < 0 \) dans l'intervalle \( [-\pi, \pi] \) sont : \[ x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \pi\right) \]