9. La media di due numeri razionali è $$ \frac{16}{15} $$, mentre la loro differenza è $$ \frac{8}{15} $$. Determina i due numeri. 10. In un rettangolo, il perimetro è 52 cm e il doppio della base è $$ \frac{8}{ ext { dellaltorn }} $$

Question

9. La media di due numeri razionali è $$ \frac{16}{15} $$, mentre la loro differenza è $$ \frac{8}{15} $$. Determina i due numeri. 10. In un rettangolo, il perimetro è 52 cm e il doppio della base è $$ \frac{8}{	ext { dellaltorn }} $$

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Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x+y=\frac{32}{15}\x-y=\frac{8}{15}\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{32-15y}{15}\x-y=\frac{8}{15}\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$x:$$
  $$\frac{32-15y}{15}-y=\frac{8}{15}$$
- step3: Multiply both sides of the equation by LCD:
  $$\left(\frac{32-15y}{15}-y\right)\times 15=\frac{8}{15}\times 15$$
- step4: Simplify the equation:
  $$32-30y=8$$
- step5: Move the constant to the right side:
  $$-30y=8-32$$
- step6: Subtract the numbers:
  $$-30y=-24$$
- step7: Change the signs:
  $$30y=24$$
- step8: Divide both sides:
  $$\frac{30y}{30}=\frac{24}{30}$$
- step9: Divide the numbers:
  $$y=\frac{4}{5}$$
- step10: Substitute the value of $$y:$$
  $$x=\frac{32-15\times \frac{4}{5}}{15}$$
- step11: Calculate:
  $$x=\frac{4}{3}$$
- step12: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\y=\frac{4}{5}\end{array}\right.$$
- step13: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\y=\frac{4}{5}\end{array}\right.$$
- step14: Rewrite:
  $$\left(x,y\right) = \left(\frac{4}{3},\frac{4}{5}\right)$$
Solve the system of equations $$ 2b + 2h = 52; 2b = \frac{8}{h} $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}2b+2h=52\2b=\frac{8}{h}\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=26-h\2b=\frac{8}{h}\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$b:$$
  $$2\left(26-h\right)=\frac{8}{h}$$
- step3: Cross multiply:
  $$2\left(26-h\right)h=8$$
- step4: Expand the expression:
  $$52h-2h^{2}=8$$
- step5: Move the expression to the left side:
  $$52h-2h^{2}-8=0$$
- step6: Rewrite in standard form:
  $$-2h^{2}+52h-8=0$$
- step7: Multiply both sides:
  $$2h^{2}-52h+8=0$$
- step8: Solve using the quadratic formula:
  $$h=\frac{52\pm \sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$
- step9: Simplify the expression:
  $$h=\frac{52\pm \sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{4}$$
- step10: Simplify the expression:
  $$h=\frac{52\pm \sqrt{2640}}{4}$$
- step11: Simplify the expression:
  $$h=\frac{52\pm 4\sqrt{165}}{4}$$
- step12: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&h=\frac{52+4\sqrt{165}}{4}\&h=\frac{52-4\sqrt{165}}{4}\end{align}$$
- step13: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&h=13+\sqrt{165}\&h=\frac{52-4\sqrt{165}}{4}\end{align}$$
- step14: Simplify the expression:
  $$\begin{align}&h=13+\sqrt{165}\&h=13-\sqrt{165}\end{align}$$
- step15: Evaluate the logic:
  $$h=13+\sqrt{165}\cup h=13-\sqrt{165}$$
- step16: Rearrange the terms:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=26-h\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=26-h\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.$$
- step17: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.$$
- step18: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.$$
- step19: Check the solution:
  $$\left\{ \begin{array}{l}b=13+\sqrt{165}\h=13-\sqrt{165}\end{array}\right.\cup \left\{ \begin{array}{l}b=13-\sqrt{165}\h=13+\sqrt{165}\end{array}\right.$$
- step20: Rewrite:
  $$\left(b,h\right) = \left(13+\sqrt{165},13-\sqrt{165}\right)\cup \left(b,h\right) = \left(13-\sqrt{165},13+\sqrt{165}\right)$$
### Problema 9

Abbiamo due numeri razionali $$ x $$ e $$ y $$ con le seguenti condizioni:

1. La loro media è $$ \frac{16}{15} $$:
   $$
   \frac{x + y}{2} = \frac{16}{15} \implies x + y = \frac{32}{15}
   $$

2. La loro differenza è $$ \frac{8}{15} $$:
   $$
   x - y = \frac{8}{15}
   $$

Ora possiamo risolvere il sistema di equazioni:

$$
\begin{cases}
x + y = \frac{32}{15} \
x - y = \frac{8}{15}
\end{cases}
$$

Risolvendo il sistema, otteniamo:

$$
(x,y) = \left(\frac{4}{3}, \frac{4}{5}\right)
$$

Quindi i due numeri sono $$ \frac{4}{3} $$ e $$ \frac{4}{5} $$.

---

### Problema 10

In un rettangolo, abbiamo le seguenti condizioni:

1. Il perimetro è 52 cm:
   $$
   2b + 2h = 52 \implies b + h = 26
   $$

2. Il doppio della base è $$ \frac{8}{h} $$:
   $$
   2b = \frac{8}{h} \implies b = \frac{4}{h}
   $$

Ora possiamo risolvere il sistema di equazioni:

$$
\begin{cases}
b + h = 26 \
b = \frac{4}{h}
\end{cases}
$$

Sostituendo $$ b $$ nella prima equazione:

$$
\frac{4}{h} + h = 26
$$

Moltiplicando per $$ h $$ per eliminare il denominatore:

$$
4 + h^2 = 26h \implies h^2 - 26h + 4 = 0
$$

Risolvendo questa equazione quadratica, otteniamo:

$$
(b,h) = \left(13+\sqrt{165}, 13-\sqrt{165}\right) \cup \left(13-\sqrt{165}, 13+\sqrt{165}\right)
$$

Quindi le dimensioni della base e dell'altezza del rettangolo sono $$ 13+\sqrt{165} $$ e $$ 13-\sqrt{165} $$.
### Risoluzione Problema 9 Abbiamo due numeri razionali $$ x $$ e $$ y $$ con le seguenti condizioni: 1. La loro media è $$ \frac{16}{15} $$: $$ \frac{x + y}{2} = \frac{16}{15} \implies x + y = \frac{32}{15} $$ 2. La loro differenza è $$ \frac{8}{15} $$: $$ x - y = \frac{8}{15} $$ Risolvendo il sistema di equazioni: $$ \begin{cases} x + y = \frac{32}{15} \ x - y = \frac{8}{15} \end{cases} $$ Otteniamo: $$ x = \frac{4}{3}, \quad y = \frac{4}{5} $$ Quindi i due numeri sono $$ \frac{4}{3} $$ e $$ \frac{4}{5} $$. --- ### Risoluzione Problema 10 In un rettangolo, abbiamo: 1. Il perimetro è 52 cm: $$ 2b + 2h = 52 \implies b + h = 26 $$ 2. Il doppio della base è $$ \frac{8}{h} $$: $$ 2b = \frac{8}{h} \implies b = \frac{4}{h} $$ Risolvendo il sistema: $$ \begin{cases} b + h = 26 \ b = \frac{4}{h} \end{cases} $$ Sostituendo $$ b $$ nella prima equazione: $$ \frac{4}{h} + h = 26 \implies h^2 - 26h + 4 = 0 $$ Risolvendo l'equazione quadratica: $$ h = 13 \pm \sqrt{165} $$ Quindi le dimensioni sono $$ 13 + \sqrt{165} $$ cm per la base e $$ 13 - \sqrt{165} $$ cm per l'altezza.

9. La media di due numeri razionali è \( \frac{16}{15} \), mentre la loro differenza è \( \frac{8}{15} \). Determina i due numeri. 10. In un rettangolo, il perimetro è 52 cm e il doppio della base è \( \frac{8}{\text { dellaltorn }} \)

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