6. Pruebe las fórmulas de cofunción para el seno, la tangente, la cotargense s secante y la cosecante. 7. Pruebe las fórmulas de suma y resta para la tangente

Para probar las fórmulas de cofunción y las fórmulas de suma y resta para la tangente, procederemos de la siguiente manera: ### 6. Prueba de las fórmulas de cofunción Las fórmulas de cofunción son las siguientes: 1. \(\sin(90^\circ - x) = \cos(x)\) 2. \(\cos(90^\circ - x) = \sin(x)\) 3. \(\tan(90^\circ - x) = \cot(x)\) 4. \(\cot(90^\circ - x) = \tan(x)\) 5. \(\sec(90^\circ - x) = \csc(x)\) 6. \(\csc(90^\circ - x) = \sec(x)\) **Prueba:** 1. **Para \(\sin(90^\circ - x) = \cos(x)\)**: - Usamos el círculo unitario. En un triángulo rectángulo, el ángulo complementario \(90^\circ - x\) tiene como cateto opuesto a \(x\) y como cateto adyacente a \(90^\circ - x\). Por lo tanto, \(\sin(90^\circ - x)\) es igual al cateto adyacente, que es \(\cos(x)\). 2. **Para \(\cos(90^\circ - x) = \sin(x)\)**: - Similarmente, el cateto opuesto al ángulo \(x\) es igual a \(\sin(x)\), por lo que \(\cos(90^\circ - x)\) es igual a \(\sin(x)\). 3. **Para \(\tan(90^\circ - x) = \cot(x)\)**: - La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Por lo tanto, \(\tan(90^\circ - x) = \frac{\sin(90^\circ - x)}{\cos(90^\circ - x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x)\). 4. **Para \(\cot(90^\circ - x) = \tan(x)\)**: - Usando la definición de cotangente, \(\cot(90^\circ - x) = \frac{\cos(90^\circ - x)}{\sin(90^\circ - x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)\). 5. **Para \(\sec(90^\circ - x) = \csc(x)\)**: - La secante es el recíproco del coseno, así que \(\sec(90^\circ - x) = \frac{1}{\cos(90^\circ - x)} = \frac{1}{\sin(x)} = \csc(x)\). 6. **Para \(\csc(90^\circ - x) = \sec(x)\)**: - De manera similar, \(\csc(90^\circ - x) = \frac{1}{\sin(90^\circ - x)} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)\). ### 7. Prueba de las fórmulas de suma y resta para la tangente Las fórmulas de suma y resta para la tangente son: 1. \(\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}\) 2. \(\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\) **Prueba:** 1. **Para \(\tan(a + b)\)**: - Usamos la definición de tangente: \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\) y \(\tan(b) = \frac{\sin(b)}{\cos(b)}\). - Entonces, \(\tan(a + b) = \frac{\sin(a + b)}{\cos(a + b)}\). - Usamos las fórmulas de suma para seno y coseno: - \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\) - \(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\) - Sustituyendo: \[ \tan(a + b) = \frac{\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)} \] - Multiplicamos numerador y denominador por \(\frac{1}{\cos(a)\cos(b)}\): \[ \tan(a + b) = \frac{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin(b)}{\cos(b)}}{1 - \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\cdot\frac{\sin(b)}{\cos(b)}} \] - Esto se simplifica a: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} \] 2. **Para \(\tan(a - b)\)**: - Usamos la misma definición de tangente: - Entonces, \(\tan(a - b) = \frac{\sin(a - b)}{\cos(a - b)}\). - Usamos las fórmulas de resta para seno y coseno: - \(\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\) - \(\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\) - Sustituyendo: \[ \tan(a - b) = \frac{\sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)} \] - Multiplicamos numerador y denominador por \(\frac{1}{\cos(a)\cos(b)}\): \[ \tan(a - b) = \frac{\frac{\sin(a)}{\cos(a)} - \frac{\sin(b)}{\cos(b)}}{1 + \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\cdot\frac{\sin(b)}{\cos(b)}} \] - Esto se simplifica a: \[ \tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)} \] Con esto, hemos probado las fórmulas de cofunción y las fórmulas de suma y resta para la tangente.