Casos de foctoreo \( = \) \( \begin{array}{l}(5 x+3)^{2}=(5 x)^{2}+2 \cdot(5 x) \cdot 3+3^{2}= \\ 25 x^{2}+30 x+9 \\ (3 x+2)^{3}=(3 x)^{3}+3 \cdot(3 x)^{2} \cdot 2+3 \cdot 3 x \cdot 2^{2}+2^{3} \\ 27 x^{3}+3 \cdot 9 x \cdot 2+3 \cdot 8 x \cdot 4+8 \\ 27 x^{3}+54 x^{2}+36 x+8\end{array} \)

Analicemos paso a paso las dos expresiones presentadas, aplicando el teorema del binomio de Newton. ───────────────────────────── 1) Expansion de (5x + 3)² Recordemos que para cualquier binomio (a + b)² se tiene:   (a + b)² = a² + 2ab + b² En nuestro caso, a = 5x y b = 3, por lo que:   (5x + 3)² = (5x)² + 2·(5x)·3 + 3²        = 25x² + 30x + 9 ───────────────────────────── 2) Expansion de (3x + 2)³ Para el cubo de un binomio (a + b)³ se aplica la fórmula:   (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Aquí, a = 3x y b = 2, de modo que:   (3x + 2)³ = (3x)³ + 3·(3x)²·2 + 3·(3x)·2² + 2³ Procedamos a calcular cada término: a) (3x)³ = 27x³ b) 3·(3x)²·2   Primero, (3x)² = 9x²   Luego, 3·9x²·2 = 54x² c) 3·(3x)·2²   Sabemos que 2² = 4   Así, 3·(3x)·4 = 36x d) 2³ = 8 En conjunto, tenemos:   (3x + 2)³ = 27x³ + 54x² + 36x + 8 ───────────────────────────── Conclusión Las expresiones desarrolladas son:  • (5x + 3)² = 25x² + 30x + 9  • (3x + 2)³ = 27x³ + 54x² + 36x + 8 Ambas expansiones son correctas según el Teorema del Binomio.