La longitud de la curva \( C \) determinada por \( \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}, \frac{35}{2} e^{-t}, \sqrt{35} t\right\rangle \) Parat \( \in[-1,1] \). La longitud de \( C \) es: De ser necesario redondee su respuesta con dos cifras decimales

Para encontrar la longitud de la curva C definida por   r(t) = ⟨eᵗ, (35/2)e^(–t), √35 · t⟩  con t ∈ [–1, 1], procedemos de la siguiente manera: 1. Se tiene que la longitud L de la curva es   L = ∫₋₁¹ ||r′(t)|| dt. 2. Primero, derivamos cada componente de r(t):   • d/dt (eᵗ) = eᵗ   • d/dt ((35/2)e^(–t)) = –(35/2) e^(–t)   • d/dt (√35 · t) = √35 Por lo que:   r′(t) = ⟨eᵗ, –(35/2) e^(–t), √35⟩. 3. Calculamos la norma de r′(t):   ||r′(t)|| = √[ (eᵗ)² + (–(35/2) e^(–t))² + (√35)² ]         = √[ e^(2t) + (35²/4)e^(–2t) + 35 ]         = √[ e^(2t) + (1225/4)e^(–2t) + 35 ]. Observamos que si consideramos el cuadrado de [eᵗ + (35/2) e^(–t)] obtenemos:   (eᵗ + (35/2)e^(–t))² = e^(2t) + 2·eᵗ·(35/2)e^(–t) + (35/2)² e^(–2t)               = e^(2t) + 35 + (1225/4)e^(–2t). Vemos que coincide con la expresión dentro de la raíz. Es decir,   ||r′(t)|| = eᵗ + (35/2) e^(–t). 4. Entonces la longitud de la curva es   L = ∫₋₁¹ [eᵗ + (35/2)e^(–t)] dt. 5. Separando la integral:   L = ∫₋₁¹ eᵗ dt + (35/2) ∫₋₁¹ e^(–t) dt. Calculamos cada integral:   • ∫₋₁¹ eᵗ dt = [eᵗ]₋₁¹ = e¹ – e^(–1) = e – e^(–1).   • ∫₋₁¹ e^(–t) dt = [–e^(–t)]₋₁¹ = [–e^(–1) – (–e¹)] = e – e^(–1). 6. Sustituyendo, tenemos   L = (e – e^(–1)) + (35/2)(e – e^(–1)) = (e – e^(–1)) (1 + 35/2). Calculamos 1 + 35/2:   1 + 35/2 = (2/2 + 35/2) = 37/2. Así, la longitud es   L = (37/2) (e – e^(–1)). 7. Aproximando con dos cifras decimales:   e ≈ 2.71828  y  e^(–1) ≈ 0.36788   e – e^(–1) ≈ 2.71828 – 0.36788 = 2.35040   L ≈ (37/2) × 2.35040 ≈ 18.5 × 2.35040 ≈ 43.49. Por lo tanto, la longitud de la curva C es aproximadamente 43.49.