Una espiral conoide es una curva con ecuación \( \mathbf{r}(t)=\left\langle 8 e^{-6 t} \cos (t), 8 e^{-6 t} \sin (t), 8 e^{-6 t}\right\rangle \) El coseno del ángulo entre el vector tangente al espiral conoide en \( t=0 \) y el eje \( z \) positivo es: Nota: Escriba su respuesta con 2 cifras decimales

Para encontrar el coseno del ángulo entre el vector tangente al espiral conoide y el eje \( z \) positivo, primero debemos calcular el vector tangente \(\mathbf{r}'(t)\) en \( t=0 \). 1. Derivamos \(\mathbf{r}(t)\): \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(8 e^{-6 t} \cos(t)), \frac{d}{dt}(8 e^{-6 t} \sin(t)), \frac{d}{dt}(8 e^{-6 t}) \right\rangle \] Utilizando la regla del producto y derivadas, obtenemos: \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle -48 e^{-6 t} \cos(t) - 8 e^{-6 t} \sin(t), -48 e^{-6 t} \sin(t) + 8 e^{-6 t} \cos(t), -48 e^{-6 t} \right\rangle \] Evaluamos en \( t=0 \): \[ \mathbf{r}'(0) = \left\langle -48 e^0 \cdot 1 - 8 e^0 \cdot 0, -48 e^0 \cdot 0 + 8 e^0 \cdot 1, -48 e^0 \right\rangle = \left\langle -48, 8, -48 \right\rangle \] 2. Calculamos la magnitud de \(\mathbf{r}'(0)\): \[ \|\mathbf{r}'(0)\| = \sqrt{(-48)^2 + 8^2 + (-48)^2} = \sqrt{2304 + 64 + 2304} = \sqrt{4672} = 8\sqrt{73} \] 3. Encontramos el coseno del ángulo entre \(\mathbf{r}'(0)\) y el eje \( z \): El vector en el eje \( z \) es \( \mathbf{k} = \langle 0, 0, 1 \rangle \). Usamos la fórmula del coseno del ángulo \(\theta\): \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{r}'(0) \cdot \mathbf{k}}{\|\mathbf{r}'(0)\| \|\mathbf{k}\|} = \frac{-48}{8\sqrt{73} \cdot 1} = \frac{-48}{8\sqrt{73}} = \frac{-6}{\sqrt{73}} \] Finalmente, debemos calcular una aproximación numérica. \(\sqrt{73} \approx 8.544\), así que: \[ \cos(\theta) \approx \frac{-6}{8.544} \approx -0.701 \] Por lo tanto, el coseno del ángulo es aproximadamente \(-0.70\).