17. ถ้า \( k \) เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 แล้ว \( k+k^{2}+k^{3}+\ldots+k^{8} \) เท่ากับข้อใด \( \begin{array}{llll}\text { ก. } \frac{k\left(k^{7}-1\right)}{k-1} & \text { ข. } \frac{k\left(k^{8}-1\right)}{k-1} & \text { ค. } \frac{k^{8}}{k-1} & \text { ง. } 4\left(k+k^{8}\right)\end{array} \)

เพื่อหาค่าของ \( k + k^2 + k^3 + \ldots + k^8 \) เราสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมของลำดับเรขาคณิต: \[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \] โดยที่ \( a \) คือจำนวนแรก \( k \) และ \( r \) คืออัตราส่วน \( k \) ในที่นี้ \( n = 8 \) ดังนั้น: \[ k + k^2 + k^3 + \ldots + k^8 = k \frac{1 - k^8}{1 - k} = \frac{k(1 - k^8)}{1 - k} \] แล้วเราแปลง \((1 - k^8)\) เป็น \((- (k^8 - 1))\): \[ = \frac{k(- (k^8 - 1))}{1 - k} = \frac{k(k^8 - 1)}{k - 1} \] ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องก็คือ: \(\frac{k(k^8 - 1)}{k - 1}\) ซึ่งตรงกับตัวเลือกข้อ ข.