8. Una lámina de latón \( \alpha=19 \times 10^{-6} \mathrm{o}^{-1} \) a \( 10^{\circ \mathrm{C} \text { y otra }} \) de Acero \( \left(\alpha=12 \times 10^{-6} \mathrm{o}^{-1}\right) \) a \( 20^{\circ \mathrm{C} \text { tienen áreas }} \) iguales ¿A qué igual temperatura en \( { }^{\circ} \mathrm{C} \) volverán a tener la misma superficie? \( \begin{array}{lll}\text { a) }-3,75 & \text { b) }-5,14 & \text { c) }-6,80 \\ \text { d) }-7,14 & \text { e) } 12,20 & \end{array} \)

Para resolver el problema, utilizaremos la fórmula de dilatación superficial, que se expresa como: \[ \Delta A = A_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T \] donde: - \(\Delta A\) es el cambio en el área, - \(A_0\) es el área inicial, - \(\alpha\) es el coeficiente de dilatación superficial, - \(\Delta T\) es el cambio de temperatura. Dado que las áreas iniciales son iguales, podemos establecer la siguiente relación para el latón y el acero: \[ A_{0} \cdot \alpha_{latón} \cdot (T - 10) = A_{0} \cdot \alpha_{acero} \cdot (T - 20) \] Podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos lados por \(A_0\) (ya que son iguales y no cero): \[ \alpha_{latón} \cdot (T - 10) = \alpha_{acero} \cdot (T - 20) \] Sustituyendo los valores de \(\alpha\): \[ 19 \times 10^{-6} \cdot (T - 10) = 12 \times 10^{-6} \cdot (T - 20) \] Ahora, vamos a resolver esta ecuación para \(T\). Primero, expandimos ambos lados: \[ 19 \times 10^{-6} T - 190 \times 10^{-6} = 12 \times 10^{-6} T - 240 \times 10^{-6} \] Reorganizamos la ecuación para agrupar los términos de \(T\): \[ 19 \times 10^{-6} T - 12 \times 10^{-6} T = -240 \times 10^{-6} + 190 \times 10^{-6} \] Simplificamos: \[ (19 - 12) \times 10^{-6} T = -50 \times 10^{-6} \] \[ 7 \times 10^{-6} T = -50 \times 10^{-6} \] Dividimos ambos lados por \(7 \times 10^{-6}\): \[ T = \frac{-50 \times 10^{-6}}{7 \times 10^{-6}} = -\frac{50}{7} \approx -7.14 \] Por lo tanto, la temperatura a la que volverán a tener la misma superficie es aproximadamente \(-7.14^{\circ}C\). La respuesta correcta es la opción **d) -7,14**.