№1. В прямоугольном треугольнике \( \boldsymbol{A B C} \) с прямым углом C проведена высота \( C D \). Найдите величину угла \( A \), если \( D B=8 \), а \( B C=16 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом ∠C. Проведём высоту CD из вершины C на гипотенузу AB. На гипотенузе D делит отрезок AB на два отрезка: AD и DB. По условию задачи известно, что DB = 8 и BС = 16. Один из стандартных результатов для прямоугольного треугольника с высотой из прямого угла гласит, что квадрат одного из катетов равен произведению гипотенузы на соответствующий отрезок гипотенузы. Для катета BC (см. рисунок) это значит:   BC² = DB × AB. Подставим известные значения:   16² = 8 × AB   256 = 8 × AB   AB = 256 / 8 = 32. Таким образом, гипотенуза AB имеет длину 32, а отрезок AD, как дополнение до AB, равен:   AD = AB – DB = 32 – 8 = 24. Найдем угол A. В прямоугольном треугольнике угол A является острым, а сторона, противолежащая углу A, — это катет BC (соответственно, сторона AC — прилежащая сторона к углу A). Тогда по определению синуса:   sin A = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = BC / AB = 16 / 32 = 1/2. Из тригонометрии известно, что если sin A = 1/2, то A = 30°. Ответ: угол A равен 30°.