\( 187 \int e^{x} \sin x d x \) T \( A T E \) \[ \begin{array}{ll} u=\sin x & d u=e^{x} d x \\ d u=\cos x d x & u=e^{x} \end{array} \] \[ \int u d u=u-\int u d u \] \[ \begin{aligned} =\int e^{x} \sin x d x & =\sin \cos \left(e^{x}\right)-\int e^{x}(\cos x) d x \\ & =e^{x} \sin (x)-\int e^{x} \cos x d x \\ & =\int e^{x} \cos x d x \end{aligned} \] \[ \begin{array}{ll} u=\cos x & d u=e^{x} \\ d u=-\operatorname{sen} x & v=e^{x} \end{array} \] \[ \begin{aligned} \int e^{x} \sin x d x & =e^{x} \sin x-\left[\cos x\left(e^{x}\right)-\int e^{x}(-\operatorname{sen} x) d x\right] \\ & =e^{x} \sin x-\left[e^{x} \cos x-\int-e^{x} \operatorname{sen} x d x\right] \\ & =e^{x} \sin x-e^{x} \cos x+\left[\int-e^{x} \operatorname{sen} x d x\right] \\ -2 \int e^{x} \sin x d x & =e^{x} \sin x-e^{x} \cos x+c \\ & =-\frac{1}{2} e^{x}[\sin x-\cos x]+c \end{aligned} \]

Para resolver la integral \( \int e^{x} \sin x \, dx \), utilizaremos el método de integración por partes. Vamos a seguir los pasos que has proporcionado, pero los organizaremos y explicaremos de manera más clara. ### Paso 1: Definir las funciones Primero, definimos nuestras funciones para la integración por partes: - Sea \( u = \sin x \) y \( dv = e^{x} \, dx \). - Entonces, derivamos \( du \) y encontramos \( v \): - \( du = \cos x \, dx \) - \( v = e^{x} \) ### Paso 2: Aplicar la fórmula de integración por partes La fórmula de integración por partes es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Sustituyendo nuestras funciones: \[ \int e^{x} \sin x \, dx = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \, dx \] ### Paso 3: Resolver la nueva integral Ahora necesitamos resolver \( \int e^{x} \cos x \, dx \). Usamos nuevamente integración por partes: - Sea \( u = \cos x \) y \( dv = e^{x} \, dx \). - Entonces, derivamos \( du \) y encontramos \( v \): - \( du = -\sin x \, dx \) - \( v = e^{x} \) Aplicamos la fórmula de integración por partes nuevamente: \[ \int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) \, dx \] Esto se convierte en: \[ \int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx \] ### Paso 4: Sustitución en la ecuación original Ahora sustituimos esta expresión de \( \int e^{x} \cos x \, dx \) en nuestra ecuación original: \[ \int e^{x} \sin x \, dx = e^{x} \sin x - \left( e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx \right) \] Reorganizando, obtenemos: \[ \int e^{x} \sin x \, dx + \int e^{x} \sin x \, dx = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x \] \[ 2 \int e^{x} \sin x \, dx = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x \] ### Paso 5: Despejar la integral Dividimos ambos lados entre 2: \[ \int e^{x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} (e^{x} \sin x - e^{x} \cos x) + C \] ### Resultado final Por lo tanto, la solución a la integral es: \[ \int e^{x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{x} (\sin x - \cos x) + C \] Donde \( C \) es la constante de integración.