Условие: написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности: \( x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=3 \), проходящей через точку \( \mathbf{M}(1 ; 1 \); 0 (

Рассмотрим поверхность, заданную уравнением   x² + 2y² + z² = 3. Найдем уравнение касательной плоскости и уравнения нормали в точке M(1, 1, 0). 1. Шаг. Вычисление градиента Запишем функцию F(x, y, z) = x² + 2y² + z² – 3, уровневой набор которой (F(x, y, z) = 0) задаёт нашу поверхность. Градиент этой функции даёт нормальный вектор к поверхности:   ∇F = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z). Вычислим частные производные:   ∂F/∂x = 2x,   ∂F/∂y = 4y,   ∂F/∂z = 2z. В точке M(1, 1, 0):   ∇F(1, 1, 0) = (2·1, 4·1, 2·0) = (2, 4, 0). 2. Уравнение касательной плоскости Формула уравнения касательной плоскости к уровневой поверхности F(x, y, z) = 0 в точке (x₀, y₀, z₀) имеет вид:   F_x(x₀, y₀, z₀)·(x – x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀)·(y – y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀)·(z – z₀) = 0. Подставляем значения:   2(x – 1) + 4(y – 1) + 0·(z – 0) = 0,   2(x – 1) + 4(y – 1) = 0. Раскроем скобки:   2x – 2 + 4y – 4 = 0 ⟹ 2x + 4y – 6 = 0. Можно разделить уравнение на 2:   x + 2y – 3 = 0. Таким образом, уравнение касательной плоскости:   x + 2y – 3 = 0. 3. Уравнения нормали Нормаль к поверхности в точке M направлена вдоль вектора градиента ∇F(1, 1, 0) = (2, 4, 0). Поэтому параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M и направленные вдоль вектора (2, 4, 0) имеют вид:   x = 1 + 2t,   y = 1 + 4t,   z = 0 + 0·t = 0, где t ∈ ℝ. Таким образом, уравнения нормали к поверхности в точке M:   x = 1 + 2t,   y = 1 + 4t,   z = 0. Ответ: Касательная плоскость: x + 2y – 3 = 0. Нормаль: x = 1 + 2t, y = 1 + 4t, z = 0, где t ∈ ℝ.