52.Los puntos medios de los lados de un triángulo son \( (-2,3), \quad(2,7), \quad(3,5) . \quad \) Encuentra las coordenadas de los vértices. A) \( (1,0),(7,-4) \) y \( (3,5) \) B) \( (-1,0),(7,-4) \) y \( (-3,5) \) C) \( (-1,0),(7,4) \) y \( (-3,5) \) D) \( (1,0),(7,4) \) y \( (-3,5) \)

Para encontrar las coordenadas de los vértices de un triángulo a partir de los puntos medios de sus lados, utilizaremos la siguiente relación: Si \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) y \( C(x_3, y_3) \) son los vértices del triángulo, y \( M_1, M_2, M_3 \) son los puntos medios de los lados \( BC, CA, AB \) respectivamente, entonces las coordenadas de los puntos medios se pueden calcular como: \[ M_1 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] \[ M_2 = \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) \] \[ M_3 = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Dado que los puntos medios son \( M_1(-2,3) \), \( M_2(2,7) \) y \( M_3(3,5) \), podemos establecer las siguientes ecuaciones: 1. Para \( M_1 \): \[ -2 = \frac{x_2 + x_3}{2} \quad \text{y} \quad 3 = \frac{y_2 + y_3}{2} \] 2. Para \( M_2 \): \[ 2 = \frac{x_3 + x_1}{2} \quad \text{y} \quad 7 = \frac{y_3 + y_1}{2} \] 3. Para \( M_3 \): \[ 3 = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{y} \quad 5 = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Ahora, resolveremos este sistema de ecuaciones para encontrar \( x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3 \). Primero, despejamos las ecuaciones: 1. De \( M_1 \): \[ x_2 + x_3 = -4 \quad (1) \] \[ y_2 + y_3 = 6 \quad (2) \] 2. De \( M_2 \): \[ x_3 + x_1 = 4 \quad (3) \] \[ y_3 + y_1 = 14 \quad (4) \] 3. De \( M_3 \): \[ x_1 + x_2 = 6 \quad (5) \] \[ y_1 + y_2 = 10 \quad (6) \] Ahora, resolveremos el sistema de ecuaciones. Primero, resolveremos las ecuaciones (1), (3) y (5) para \( x_1, x_2, x_3 \): De (1): \[ x_3 = -4 - x_2 \quad (7) \] Sustituyendo (7) en (3): \[ (-4 - x_2) + x_1 = 4 \implies x_1 - x_2 = 8 \quad (8) \] Sustituyendo (7) en (5): \[ x_1 + x_2 = 6 \quad (5) \] Ahora tenemos el sistema de dos ecuaciones (8) y (5): 1. \( x_1 - x_2 = 8 \) 2. \( x_1 + x_2 = 6 \) Sumando estas dos ecuaciones: \[ 2x_1 = 14 \implies x_1 = 7 \] Sustituyendo \( x_1 \) en (5): \[ 7 + x_2 = 6 \implies x_2 = -1 \] Sustituyendo \( x_2 \) en (1): \[ -1 + x_3 = -4 \implies x_3 = -3 \] Ahora tenemos \( x_1 = 7, x_2 = -1, x_3 = -3 \). Ahora, resolveremos las ecuaciones (2), (4) y (6) para \( y_1, y_2, y_3 \): De (2): \[ y_3 = 6 - y_2 \quad (9) \] Sustituyendo (9) en (4): \[ (6 - y_2) + y_1 = 14 \implies y_1 - y_2 = 8 \quad (10) \] Sustituyendo (9) en (6): \[ y_1 + y_2 = 10 \quad (6) \] Ahora tenemos el sistema de dos ecuaciones (10) y (6): 1. \( y_1 - y_2 = 8 \) 2. \( y_1 + y_2 = 10 \) Sumando estas dos ecuaciones: \[ 2y_1 = 18 \implies y_1 = 9 \] Sustituyendo \( y_1 \) en (6): \[ 9 + y_2 = 10 \implies y_2 = 1 \] Sustituyendo \( y_2 \) en (2): \[ 1 + y_3 = 6 \implies y_3 = 5 \] Finalmente, tenemos las coordenadas de los vértices: \[ A(7, 9), \quad B(-1, 1), \quad C(-3, 5) \] Comparando con las opciones dadas, la respuesta correcta es: **B) \( (-1,0),(7,-4) \) y \( (-3,5) \)**.