4. Coloca el signo \( \langle 0\rangle \) según corresponda. a. \( \frac{37}{144}+\frac{51}{12}+\frac{3}{6} \square \frac{17}{12}+\left(\frac{-24}{11}\right) \) b. \( \frac{24}{169}+\frac{83}{13} \square \frac{37}{125}+\frac{53}{15}+\frac{74}{5} \) c. \( \frac{6}{104}+\frac{19}{32}+\frac{43}{64} \square \frac{32}{29}+\frac{47}{17} \)

Para resolver estas comparaciones, necesitamos calcular el valor de cada lado de las desigualdades y determinar cuál es mayor, menor o igual. a. Primero, simplificamos y sumamos: \[ \frac{37}{144} + \frac{51}{12} + \frac{3}{6} = \frac{37}{144} + \frac{612}{144} + \frac{72}{144} = \frac{721}{144} \] Luego, la derecha es: \[ \frac{17}{12} + \left(\frac{-24}{11}\right) = \frac{17 \cdot 11}{12 \cdot 11} + \frac{-24 \cdot 12}{11 \cdot 12} = \frac{187 - 288}{132} = \frac{-101}{132} \] Comparando \(\frac{721}{144} \) con \(\frac{-101}{132}\), notamos que \(\frac{721}{144} > \frac{-101}{132}\). Así que la desigualdad es: \[ \frac{37}{144}+\frac{51}{12}+\frac{3}{6} > \frac{17}{12}+\left(\frac{-24}{11}\right) \] b. Vamos a sumar el lado izquierdo primero: \[ \frac{24}{169} + \frac{83}{13} = \frac{24}{169} + \frac{1079}{169} = \frac{1103}{169} \] Sumamos los demás: \[ \frac{37}{125} + \frac{53}{15} + \frac{74}{5} = \frac{37}{125} + \frac{265}{125} + \frac{1850}{125} = \frac{2152}{125} \] Ahora necesitamos comparar \(\frac{1103}{169}\) y \(\frac{2152}{125}\) multiplicando cruzado: \[ 1103 \cdot 125 \quad \text{y} \quad 2152 \cdot 169 \] Así que, \[ 137875 > 363088 \Rightarrow \frac{24}{169}+\frac{83}{13} > \frac{37}{125}+\frac{53}{15}+\frac{74}{5} \] c. Por último, sumamos el primer lado: \[ \frac{6}{104} + \frac{19}{32} + \frac{43}{64} = \frac{3}{52} + \frac{19 \cdot 2}{64} + \frac{43}{64} = \frac{3}{52} + \frac{38 + 43}{64} = \frac{3 \cdot 32 + 81}{256} = \frac{96 + 81}{256} = \frac{177}{256} \] El lado derecho: \[ \frac{32}{29} + \frac{47}{17} = \frac{32 \cdot 17 + 47 \cdot 29}{29 \cdot 17} = \frac{544 + 1363}{493} = \frac{1907}{493} \] Comparando la primera con la segunda, encontramos que finalmente queda: \[ \frac{6}{104}+\frac{19}{32}+\frac{43}{64} < \frac{32}{29}+\frac{47}{17} \] En resumen: a. \( \frac{37}{144}+\frac{51}{12}+\frac{3}{6} > \frac{17}{12}+\left(\frac{-24}{11}\right) \) b. \( \frac{24}{169}+\frac{83}{13} > \frac{37}{125}+\frac{53}{15}+\frac{74}{5} \) c. \( \frac{6}{104}+\frac{19}{32}+\frac{43}{64} < \frac{32}{29}+\frac{47}{17} \)