Dadas las funciones definidas por \( f(z)=\frac{4 \cdot 10^{z}+2}{10^{z}} \) y \( j(z)=\log _{10}\left(\frac{4 z+5}{2 z}\right) \), entonces \( (f \circ j)(x) \) está dada por

Para encontrar \( (f \circ j)(x) \), primero necesitamos calcular \( j(x) \) y luego sustituir ese resultado en \( f(z) \). 1. **Calcular \( j(x) \)**: \[ j(x) = \log_{10}\left(\frac{4x + 5}{2x}\right) \] 2. **Sustituir \( j(x) \) en \( f(z) \)**: \[ f(z) = \frac{4 \cdot 10^{z} + 2}{10^{z}} \] Sustituyendo \( z = j(x) \): \[ f(j(x)) = f\left(\log_{10}\left(\frac{4x + 5}{2x}\right)\right) \] Para esto, primero necesitamos calcular \( 10^{j(x)} \): \[ 10^{j(x)} = 10^{\log_{10}\left(\frac{4x + 5}{2x}\right)} = \frac{4x + 5}{2x} \] 3. **Sustituyendo en \( f(z) \)**: Ahora sustituimos \( 10^{j(x)} \) en \( f(z) \): \[ f(j(x)) = \frac{4 \cdot \frac{4x + 5}{2x} + 2}{\frac{4x + 5}{2x}} \] 4. **Simplificar la expresión**: Primero, simplificamos el numerador: \[ 4 \cdot \frac{4x + 5}{2x} + 2 = \frac{16x + 20}{2x} + 2 = \frac{16x + 20 + 4x}{2x} = \frac{20x + 20}{2x} = \frac{20(x + 1)}{2x} = \frac{10(x + 1)}{x} \] Ahora, sustituimos esto en \( f(j(x)) \): \[ f(j(x)) = \frac{\frac{10(x + 1)}{x}}{\frac{4x + 5}{2x}} = \frac{10(x + 1)}{x} \cdot \frac{2x}{4x + 5} = \frac{20(x + 1)}{4x + 5} \] Por lo tanto, la composición \( (f \circ j)(x) \) está dada por: \[ (f \circ j)(x) = \frac{20(x + 1)}{4x + 5} \]