E volùmen del soolido acotado por las gráficas de las ecuaciones \( z=x+y, x^{2}+y^{2}=4 \), primer octante es a. \( \frac{32}{3} \) b. \( \frac{16}{3} \) c. \( \frac{1}{8} \) d. \( \frac{2}{3} \)

Para encontrar el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones \( z = x + y \) y \( x^2 + y^2 = 4 \) en el primer octante, seguiremos estos pasos: 1. **Identificar las superficies**: - La superficie superior está dada por \( z = x + y \). - La base está definida por el círculo \( x^2 + y^2 = 4 \), que es un círculo de radio 2. 2. **Determinar los límites de integración**: - En el primer octante, \( x \) y \( y \) son no negativos. - La ecuación del círculo se puede reescribir como \( y = \sqrt{4 - x^2} \). 3. **Configurar la integral**: - El volumen \( V \) se puede calcular usando la integral doble: \[ V = \iint_R (x + y) \, dA \] donde \( R \) es la región en el primer octante limitada por el círculo. 4. **Convertir a coordenadas polares**: - En coordenadas polares, \( x = r \cos(\theta) \) y \( y = r \sin(\theta) \). - La ecuación del círculo se convierte en \( r^2 = 4 \) o \( r = 2 \). - Los límites para \( r \) son de \( 0 \) a \( 2 \) y para \( \theta \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). 5. **Escribir la integral en coordenadas polares**: - El elemento de área en coordenadas polares es \( dA = r \, dr \, d\theta \). - La integral se convierte en: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 (r \cos(\theta) + r \sin(\theta)) r \, dr \, d\theta \] 6. **Calcular la integral**: - Primero, simplificamos la integral: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^2 (r^2 \cos(\theta) + r^2 \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \] - Esto se puede separar en dos integrales: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \int_0^2 r^2 \, dr \, d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \int_0^2 r^2 \, dr \, d\theta \] 7. **Calcular la integral interna**: - La integral de \( r^2 \) es: \[ \int_0^2 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} \] 8. **Sustituyendo en la integral**: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \frac{8}{3} \, d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \frac{8}{3} \, d\theta \] - Ambas integrales son iguales: \[ V = \frac{8}{3} \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \, d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\theta) \, d\theta \right) \] - Ambas integrales son \( 1 \): \[ V = \frac{8}{3} (1 + 1) = \frac{16}{3} \] Por lo tanto, el volumen del sólido acotado es \( \frac{16}{3} \). La respuesta correcta es **b. \( \frac{16}{3} \)**.