برابر \( \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7-4 \sqrt{3}} \)

برای ساده‌سازی عبارت \( \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7-4 \sqrt{3}} \)، ابتدا به هر جزء می‌پردازیم: 1. **جزء اول:** از فرمول‌هایی که برای ریشه‌ها وجود دارد استفاده می‌کنیم. می‌دانیم: \[ \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \] که برای ما \(a+b = 2\) و \(2\sqrt{ab} = \sqrt{3}\) خواهد شد. با حل این دو معادله، می‌توانیم \(a\) و \(b\) را بیابیم. از حل این معادلات مشخص می‌شود که: \[ \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = \sqrt{2} \] 2. **جزء دوم:** برای \( \sqrt[4]{7 - 4\sqrt{3}} \) هم از مشابه همین روش استفاده می‌کنیم. فرض می‌کنیم: \[ \sqrt[4]{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}} \] که با استفاده از مشابه فرمول‌ها، مشخص می‌شود که: \[ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \] با حل معادلات مربوطه به این نتیجه می‌رسیم که: \[ \sqrt[4]{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \] حالا با ترکیب دو نتیجه به دست آمده: \[ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7-4 \sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2(2 - \sqrt{3})} \] که با فاکتوری از حاصل‌ضرب داخل ریشه، می‌توانیم آن را به شکل ساده‌تری درآوریم. محاسبه نهایی به ما می‌دهد: \[ = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3} \] بنابراین: \[ \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7-4 \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \]