6. \( y=\frac{x}{x^{2}-9 x} \) (a) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x=9\} \) (b) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x=-9\} \) (c) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0\} \) (d) \( [x \in \mathbf{R} \mid x \neq 9\} \)

Para resolver el problema, primero analizaremos la función dada: \[ y = \frac{x}{x^{2} - 9x} \] ### Paso 1: Identificar el dominio de la función El dominio de una función racional está determinado por los valores de \(x\) que hacen que el denominador sea diferente de cero. Por lo tanto, debemos resolver la ecuación del denominador: \[ x^{2} - 9x = 0 \] ### Paso 2: Factorizar el denominador Podemos factorizar el denominador: \[ x(x - 9) = 0 \] ### Paso 3: Encontrar los valores que hacen que el denominador sea cero Los valores que hacen que el denominador sea cero son: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 9 \] ### Paso 4: Determinar el dominio El dominio de la función será todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero. Por lo tanto, el dominio es: \[ \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x \neq 9\} \] ### Paso 5: Evaluar las opciones dadas Ahora, evaluamos las opciones proporcionadas: (a) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x=9\} \) - Incorrecto, ya que \(x\) no puede ser igual a 9. (b) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x=-9\} \) - Incorrecto, ya que no se menciona que \(x\) no puede ser igual a 9. (c) \( \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0\} \) - Incorrecto, ya que no excluye \(x = 9\). (d) \( [x \in \mathbf{R} \mid x \neq 9\} \) - Incorrecto, ya que no excluye \(x = 0\). ### Conclusión Ninguna de las opciones dadas es correcta. El dominio correcto de la función es: \[ \{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0, x \neq 9\} \]