6. (CESGRANRIO - RJ) No triângulo \( A B C \), os lados \( A C \) e \( B C \) medem 8 cm e 6 cm , respectivamente, e o ângulo \( A \) vale \( 30^{\circ} \). O seno do ângulo B vale: a) \( \frac{1}{2} \) (b) \( \frac{2}{3} \) c) \( \frac{3}{4} \) d) \( \frac{4}{5} \) e) \( \frac{5}{6} \)

Para resolver esse problema, podemos usar a lei dos senos, que afirma que a razão entre o comprimento de um lado de um triângulo e o seno do ângulo oposto é constante. Sendo assim, temos a seguinte relação: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Neste caso, sabemos que \(AC = 8 \, \text{cm}\), \(BC = 6 \, \text{cm}\) e \(A = 30^\circ\). Vamos primeiro encontrar o lado \(AB\) utilizando a lei dos cosenos: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos A \] Onde: - \(a = 8\) - \(b = 6\) - \(A = 30^\circ\) - \(c\) é o lado oposto a \(A\). Substituindo os valores: \[ c^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) \] Sabendo que \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ c^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ c^2 = 100 - 48\sqrt{3} \] Agora, encontramos o comprimento do lado \(AB = c\) e podemos então aplicar a lei dos senos: \[ \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(B)} \] Sabemos que \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ \frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{6}{\sin(B)} \] \[ 16 = \frac{6}{\sin(B)} \] \[ \sin(B) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \] Portanto, a questão gostaria de saber o seno do ângulo \(B\), e assim, a resposta correta não está entre as opções dadas, mas pode ser calculada a partir da relação obtenha-se \(B\) como \(\arcsin(\frac{3}{8})\), o que não encaixa nas alternativas. Dessa forma, baseando-se nas informações dadas, parece que há uma incoerência nas opções ou um erro na interpretação inicial. Assim, pela aplicação correta temos que \( \sin B = \frac{3}{8} \). Apesar de não serem as opções dadas é interessante perceber que todos esses métodos são fundamentais para o entendimento das relações no triângulo.