La divergencia del campo vectorial \( F(x, y)=x^{2} i+2 y^{2} j \) es a. \( 2 x+4 y \) b. \( \cos x-\sin y+2 z \) c. \( 2 x y \) d. \( 10 x+3 y \)

Para encontrar la divergencia del campo vectorial \( F(x, y) = x^{2} \mathbf{i} + 2y^{2} \mathbf{j} \), utilizamos la fórmula de la divergencia en coordenadas cartesianas: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} \] donde \( F_{1} = x^{2} \) y \( F_{2} = 2y^{2} \). Ahora, calculamos las derivadas parciales: 1. Calculemos \( \frac{\partial F_{1}}{\partial x} \): \[ \frac{\partial F_{1}}{\partial x} = \frac{\partial (x^{2})}{\partial x} = 2x \] 2. Calculemos \( \frac{\partial F_{2}}{\partial y} \): \[ \frac{\partial F_{2}}{\partial y} = \frac{\partial (2y^{2})}{\partial y} = 4y \] Ahora sumamos ambas derivadas para obtener la divergencia: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 4y \] Por lo tanto, la divergencia del campo vectorial \( F(x, y) \) es: \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 2x + 4y \] La respuesta correcta es la opción **a. \( 2x + 4y \)**.