2. No plano, a reta \( A B \) é perpendicular à reta \( r \). O vetor \( \overrightarrow{A B} \) tem coordenadas \( (-1,3 m) \) e a reta \( r \) é definida por \( y=\frac{1}{2} x+1 \). O valor de \( m \) é: \( \begin{array}{llll}\text { (A) }-\frac{1}{3} & \text { (B) }-\frac{2}{3} & \text { (C) } \frac{2}{3} & \text { (D) } \frac{1}{3}\end{array} \)

Para determinar o valor de \( m \), precisamos usar o fato de que as retas são perpendiculares. A reta \( r \) tem uma inclinação (coeficiente angular) de \( \frac{1}{2} \). Assim, a inclinação da reta \( AB \) deve ser o oposto do inverso, ou seja, \( -2 \) (porque \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)). Dado que o vetor \( \overrightarrow{A B} \) tem coordenadas \( (-1, 3m) \), sua inclinação pode ser encontrada pela razão entre a variação em \( y \) e a variação em \( x \): \[ \text{Inclinação} = \frac{3m}{-1} = -3m. \] Igualando isso a \( -2 \): \[ -3m = -2 \implies 3m = 2 \implies m = \frac{2}{3}. \] Portanto, a resposta correta é \( m = \frac{2}{3} \), que corresponde à opção (C).