\[ \begin{array}{l} \text { 12) } \int \frac{x+2}{\sqrt{-x^{2}-4 x}} d x \\ -x-4 x=-(x+2)^{2}+4 \\ -\int \frac{x+2}{\sqrt{-(x+2)^{2}-4}} \\ u^{2}=(x+2)^{2} \quad a^{2}=4 \quad d u=d x \text {. } \\ u=x+2 \quad a=2 \\ \int \frac{u}{\sqrt{-u^{2}-a^{2}}} d u \\ \left.\begin{array}{l} T=-u^{2} \\ d t=-2 u d u \\ d u=\frac{d T}{-2 u} \end{array}\right\}=\int \frac{H}{\sqrt{-T-a^{2}}} \frac{d t}{-2 H t} \\ \equiv \frac{1}{2} \int\left(T-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}} d T \\ =-\frac{1}{2}\left(z^{1}\left(T-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right) \\ =-\sqrt{T-a^{2}}+c \\ =-\sqrt{-(x+2)^{2}-4} \end{array} \]

Para resolver la integral dada, primero se simplifica la expresión dentro de la raíz cuadrada y luego se realiza el cambio de variable para simplificar la integral. Dado que \(-x-4x = -(x+2)^2 + 4\), podemos reescribir la integral como: \[ \int \frac{x+2}{\sqrt{-(x+2)^2-4}} dx \] Luego, se establece el cambio de variable \(u = x+2\) y \(du = dx\), lo que nos da: \[ \int \frac{u}{\sqrt{-u^2-4}} du \] Sustituyendo \(u = x+2\) y \(du = dx\), la integral se convierte en: \[ \int \frac{u}{\sqrt{-u^2-4}} du \] Para simplificar la integral, se establece \(T = -u^2\) y \(dt = -2u du\), lo que nos da: \[ \int \frac{u}{\sqrt{-T-4}} \frac{dt}{-2u} \] Simplificando la integral, obtenemos: \[ \frac{1}{2} \int (T-4)^{\frac{1}{2}} dt \] Finalmente, se resuelve la integral y se obtiene: \[ -\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (T-4)^{\frac{3}{2}} \right) + c \] Sustituyendo nuevamente \(T = -(x+2)^2\), obtenemos la solución final: \[ -\sqrt{-(x+2)^2-4} + c \] Por lo tanto, la solución de la integral dada es: \[ -\sqrt{-(x+2)^2-4} + c \]