IES D. Pelayo EXAMEN DE GEOMETRIA \( 2^{\circ} \) Bach. B 10.2 .25 Nombre y apellidos: \( \qquad \) 1) \( (2.5 p) \) Dadas las rectas \( r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{1} \quad s \equiv \frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z}{1} \) se pide: a) \( (0.75 p) \) Estudiar la posición relativa de \( r \) y s y halla la distancia entre ellas. b) \( (0.75 \mathrm{p}) \) Determinar la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s . c) ( 1 p) Halla el punto simétrico de \( P(1,0,-2) \) respecto de \( r \).

Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos solicitados: ### 1) Estudiar la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \) y hallar la distancia entre ellas. Las rectas están dadas en forma paramétrica: - Recta \( r \): \[ \begin{align*} x &= 2t - 1 \\ y &= t \\ z &= t - 1 \end{align*} \] - Recta \( s \): \[ \begin{align*} x &= 2u + 5 \\ y &= u + 4 \\ z &= u \end{align*} \] **Paso 1: Determinar los vectores directores y un punto en cada recta.** - Para la recta \( r \), el vector director \( \vec{d_r} = (2, 1, 1) \) y un punto \( P_r(-1, 0, -1) \). - Para la recta \( s \), el vector director \( \vec{d_s} = (2, 1, 1) \) y un punto \( P_s(5, 4, 0) \). **Paso 2: Comprobar si son paralelas.** Las rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales. En este caso, \( \vec{d_r} = \vec{d_s} \), por lo que las rectas son paralelas. **Paso 3: Hallar la distancia entre las rectas.** La distancia \( d \) entre dos rectas paralelas se puede calcular usando la fórmula: \[ d = \frac{|(\vec{P_s} - \vec{P_r}) \cdot (\vec{d_r} \times \vec{d_s})|}{|\vec{d_r} \times \vec{d_s}|} \] Calculamos \( \vec{P_s} - \vec{P_r} = (5 - (-1), 4 - 0, 0 - (-1)) = (6, 4, 1) \). Dado que \( \vec{d_r} \) y \( \vec{d_s} \) son paralelos, su producto cruzado es cero: \[ \vec{d_r} \times \vec{d_s} = (0, 0, 0) \] Por lo tanto, la distancia entre las rectas es: \[ d = \frac{|(6, 4, 1) \cdot (0, 0, 0)|}{|0|} = \text{indeterminado} \] Esto indica que las rectas son coincidentes, ya que son paralelas y no hay distancia entre ellas. ### 2) Determinar la ecuación del plano que contiene a las rectas \( r \) y \( s \). Dado que las rectas son paralelas, el plano que las contiene puede ser determinado usando un punto de una de las rectas y el vector normal al plano. **Paso 1: Encontrar un vector normal.** Un vector normal al plano puede ser cualquier vector que no sea paralelo a \( \vec{d_r} \). Por ejemplo, podemos usar el vector \( \vec{n} = (1, -2, 0) \). **Paso 2: Usar un punto de la recta \( r \) para la ecuación del plano.** Usamos el punto \( P_r(-1, 0, -1) \) y la forma del plano: \[ n_1(x - x_0) + n_2(y - y_0) + n_3(z - z_0) = 0 \] donde \( n_1, n_2, n_3 \) son las componentes de \( \vec{n} \) y \( (x_0, y_0, z_0) \) son las coordenadas del punto. Sustituyendo: \[ 1(x + 1) - 2(y - 0) + 0(z + 1) = 0 \] Esto se simplifica a: \[ x - 2y + 1 = 0 \] ### 3) Hallar el punto simétrico de \( P(1,0,-2) \) respecto de \( r \). **Paso 1: Encontrar la proyección del punto \( P \) sobre la recta \( r \).** La proyección de un punto sobre una recta se puede calcular usando la fórmula: \[ P' = P_r + \frac{(P - P_r) \cdot \vec{d_r}}{|\vec{d_r}|^2} \vec{d_r} \] Calculamos \( P - P_r = (1 - (-1), 0 - 0, -2 - (-1)) = (2, 0, -1) \). **Paso 2: Calcular la proyección.** Primero, calculamos \( |\vec{d_r}|^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6 \). Ahora, calculamos el producto punto: \[ (P - P_r) \cdot \vec{d_r} = (2, 0, -1) \cdot (2, 1, 1) = 4 + 0 - 1 = 3 \] Por lo tanto, la proyección es: \[ P' = P_r + \frac{3}{6} \vec{d_r} = (-1, 0, -1) + \frac{1}{2}(2, 1, 1) = (-1 + 1, 0 + \frac{1}{2}, -1 + \frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \] **Paso 3: Hallar el punto simétrico.** El punto simétrico \( P_s \) respecto a \( r \) se puede calcular como: \[ P_s = P + 2(P' - P) \] Sustituyendo: \[ P_s = (1, 0, -2) + 2\left((0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) - (1, 0, -2)\right) \] Calculamos: \[ P' - P = (-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \] Por lo tanto: \[ P_s = (1, 0, -2) + 2(-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = (1 - 2, 0 + 1, -2 + 3) = (-1, 1, 1) \] ### Resumen de resultados: a) Las rect