1. El punto P 1 tiene su abscisa igual a su ordenada. Si las coordenadas de P 2 son: $$ (2 ; 8) $$ y la distancia $$ \mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2} $$ vale 6 unidades, halle las coordenadas de P1.

Question

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Para resolver el problema, sigamos los pasos necesarios:

1. **Identificar las coordenadas de $$ P_1 $$**: Dado que la abscisa es igual a la ordenada, podemos representar las coordenadas de $$ P_1 $$ como $$ (x, x) $$.

2. **Coordenadas de $$ P_2 $$**: Las coordenadas de $$ P_2 $$ son $$ (2, 8) $$.

3. **Fórmula de la distancia**: La distancia entre dos puntos $$ P_1(x_1, y_1) $$ y $$ P_2(x_2, y_2) $$ se calcula con la fórmula:
   $$
   d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
   $$
   En este caso, $$ d = 6 $$, $$ x_1 = x $$, $$ y_1 = x $$, $$ x_2 = 2 $$, y $$ y_2 = 8 $$.

4. **Sustituyendo en la fórmula**:
   $$
   6 = \sqrt{(2 - x)^2 + (8 - x)^2}
   $$

5. **Elevando al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz**:
   $$
   36 = (2 - x)^2 + (8 - x)^2
   $$

6. **Desarrollando los cuadrados**:
   $$
   36 = (2 - x)^2 + (8 - x)^2 = (4 - 4x + x^2) + (64 - 16x + x^2)
   $$
   $$
   36 = 4 - 4x + x^2 + 64 - 16x + x^2
   $$
   $$
   36 = 2x^2 - 20x + 68
   $$

7. **Reorganizando la ecuación**:
   $$
   0 = 2x^2 - 20x + 68 - 36
   $$
   $$
   0 = 2x^2 - 20x + 32
   $$
   Dividiendo toda la ecuación entre 2:
   $$
   0 = x^2 - 10x + 16
   $$

8. **Resolviendo la ecuación cuadrática** usando la fórmula general $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$:
   - Aquí, $$ a = 1 $$, $$ b = -10 $$, $$ c = 16 $$.

Calculamos el discriminante:
   $$
   b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36
   $$

Ahora, aplicamos la fórmula:
   $$
   x = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}
   $$

Esto nos da dos soluciones:
   $$
   x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2
   $$

9. **Coordenadas de $$ P_1 $$**:
   - Si $$ x_1 = 8 $$, entonces $$ P_1 = (8, 8) $$.
   - Si $$ x_2 = 2 $$, entonces $$ P_1 = (2, 2) $$.

10. **Verificando las distancias**:
   - Para $$ P_1 = (8, 8) $$:
     $$
     d = \sqrt{(2 - 8)^2 + (8 - 8)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 0} = 6
     $$
   - Para $$ P_1 = (2, 2) $$:
     $$
     d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6
     $$

Ambas soluciones son válidas. Por lo tanto, las coordenadas de $$ P_1 $$ son:

$$
P_1 = (8, 8) \quad \text{y} \quad P_1 = (2, 2)
$$
Las coordenadas de $$ P_1 $$ son $$ (8, 8) $$ y $$ (2, 2) $$.

1. El punto P 1 tiene su abscisa igual a su ordenada. Si las coordenadas de P 2 son: \( (2 ; 8) \) y la distancia \( \mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2} \) vale 6 unidades, halle las coordenadas de P1.

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