\( \int _{0}^{1}\sin (t^{2}) d t=t^{2}-\frac{t^{6}}{3!}+\frac{t^{10}}{5!}-\frac{t^{14}}{7!} \)

Давайте решим интеграл \( \int _{0}^{1}\sin (t^{2}) d t \) с использованием разложения в ряд Тейлора для функции \( \sin(x) \). 1. Разложение функции \( \sin(x) \) в ряд Тейлора: \[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \] Подставим \( x = t^2 \): \[ \sin(t^2) = t^2 - \frac{(t^2)^3}{3!} + \frac{(t^2)^5}{5!} - \frac{(t^2)^7}{7!} + \ldots \] Это упрощается до: \[ \sin(t^2) = t^2 - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^{10}}{5!} - \frac{t^{14}}{7!} + \ldots \] 2. Теперь интегрируем каждое слагаемое от 0 до 1: \[ \int_0^1 \sin(t^2) dt = \int_0^1 \left( t^2 - \frac{t^6}{3!} + \frac{t^{10}}{5!} - \frac{t^{14}}{7!} + \ldots \right) dt \] 3. Интегрируем каждое слагаемое: - Для \( t^2 \): \[ \int_0^1 t^2 dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \] - Для \( -\frac{t^6}{3!} \): \[ -\frac{1}{3!} \int_0^1 t^6 dt = -\frac{1}{6} \left[ \frac{t^7}{7} \right]_0^1 = -\frac{1}{6 \cdot 7} = -\frac{1}{42} \] - Для \( \frac{t^{10}}{5!} \): \[ \frac{1}{5!} \int_0^1 t^{10} dt = \frac{1}{120} \left[ \frac{t^{11}}{11} \right]_0^1 = \frac{1}{120 \cdot 11} = \frac{1}{1320} \] - Для \( -\frac{t^{14}}{7!} \): \[ -\frac{1}{7!} \int_0^1 t^{14} dt = -\frac{1}{5040} \left[ \frac{t^{15}}{15} \right]_0^1 = -\frac{1}{5040 \cdot 15} = -\frac{1}{75600} \] 4. Теперь сложим все результаты: \[ \int_0^1 \sin(t^2) dt = \frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} - \frac{1}{75600} \] 5. Приведем к общему знаменателю и вычислим: - Общий знаменатель: 75600 - Приведем каждое слагаемое: \[ \frac{1}{3} = \frac{25200}{75600}, \quad -\frac{1}{42} = -\frac{1800}{75600}, \quad \frac{1}{1320} = \frac{57.27}{75600}, \quad -\frac{1}{75600} = -\frac{1}{75600} \] 6. Сложим: \[ \frac{25200 - 1800 + 57.27 - 1}{75600} = \frac{23356.27}{75600} \] Таким образом, интеграл \( \int _{0}^{1}\sin (t^{2}) d t \) равен \( \frac{23356.27}{75600} \).