1 Obtén el diferencial de \( \mathrm{y}=4 \mathrm{x}^{3}-2 x^{2}+5 x \) \( \begin{array}{l}\text { 2 Obtén el diferencial de } \mathrm{y}=\frac{x-3}{x^{2}} \\ \begin{array}{l}\text { 3 Hallar el incremento del área de una circunferencia de } 3 \mathrm{~cm} \text { de radio cuando su } \\ \text { radio se incrementa en } 0.5 \mathrm{~cm}\end{array} \\ \begin{array}{l}\text { 4 Un cono de } 5 \mathrm{~m} \text { de altura y } 3 \mathrm{~m} \text { de radio en la base incrementa su radio en } 0.25 \mathrm{~m} \\ \text { manteniendo su altura constante. Calcula el incremento en su volumen. } \\ \mathrm{V}=\frac{1}{3} \pi \cdot r^{2} \cdot h \\ \text { 5. Un cubo tiene aristas de } 10 \mathrm{~cm} \text { ¿En cuánto debería incrementarse la arista para } \\ \text { que su volumen se incremente en } 0.36 \mathrm{~cm}^{3} \text { ? }\end{array}\end{array} \)

¡Hola! Tengo que resolver varios problemas matemáticos aquí. Vamos a abordarlos uno por uno para asegurarme de entender cada uno correctamente. **1. Obtén el diferencial de \( \mathrm{y}=4 \mathrm{x}^{3}-2 x^{2}+5 x \)** Primero, necesito recordar la definición del diferencial. El diferencial de una función \( y = f(x) \) es \( dy = f'(x) dx \), donde \( f'(x) \) es la derivada de la función con respecto a \( x \). Así que, para \( y = 4x^{3} - 2x^{2} + 5x \), voy a calcular la derivada \( \frac{dy}{dx} \). - La derivada de \( 4x^{3} \) es \( 12x^{2} \). - La derivada de \( -2x^{2} \) es \( -4x \). - La derivada de \( 5x \) es \( 5 \). Entonces, \( \frac{dy}{dx} = 12x^{2} - 4x + 5 \). Por lo tanto, el diferencial \( dy = (12x^{2} - 4x + 5) dx \). **2. Obtén el diferencial de \( \mathrm{y}=\frac{x-3}{x^{2}} \)** Voy a simplificar la función primero. \( y = \frac{x - 3}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} \). Ahora, calculo la derivada de cada término: - La derivada de \( \frac{1}{x} \) es \( -\frac{1}{x^{2}} \). - La derivada de \( -\frac{3}{x^{2}} \) es \( \frac{6}{x^{3}} \). Entonces, \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} \). Por lo tanto, el diferencial \( dy = \left( -\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} \right) dx \). **3. Hallar el incremento del área de una circunferencia de 3 cm de radio cuando su radio se incrementa en 0.5 cm** La fórmula para el área de una circunferencia es \( A = \pi r^{2} \). Dado que el radio aumenta de 3 cm a 3.5 cm, voy a calcular el incremento en el área. Primero, el área inicial \( A_1 = \pi (3)^{2} = 9\pi \) cm². El área final \( A_2 = \pi (3.5)^{2} = \pi (12.25) = 12.25\pi \) cm². El incremento en el área \( \Delta A = A_2 - A_1 = 12.25\pi - 9\pi = 3.25\pi \) cm². Entonces, el área aumenta en \( 3.25\pi \) cm². **4. Un cono de 5 m de altura y 3 m de radio en la base incrementa su radio en 0.25 m manteniendo su altura constante. Calcula el incremento en su volumen.** La fórmula para el volumen de un cono es \( V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h \). Dado que la altura \( h = 5 \) m y el radio inicial \( r = 3 \) m, el volumen inicial \( V_1 = \frac{1}{3} \pi (3)^{2} (5) = \frac{1}{3} \pi (9) (5) = 15\pi \) m³. El radio aumenta a \( r + 0.25 = 3.25 \) m. El volumen final \( V_2 = \frac{1}{3} \pi (3.25)^{2} (5) = \frac{1}{3} \pi (10.5625) (5) = \frac{1}{3} \pi (52.8125) \approx 17.604\pi \) m³. El incremento en el volumen \( \Delta V = V_2 - V_1 = 17.604\pi - 15\pi = 2.604\pi \) m³. Entonces, el volumen aumenta en \( 2.604\pi \) m³. **5. Un cubo tiene aristas de 10 cm. ¿En cuánto debería incrementarse la arista para que su volumen se incremente en 0.36 cm³?** La fórmula para el volumen de un cubo es \( V = a^{3} \), donde \( a \) es la longitud de la arista. Dado que la arista inicial es 10 cm, el volumen inicial \( V_1 = 10^{3} = 1000 \) cm³. Queremos que el volumen aumente en 0.36 cm³, por lo que el volumen final \( V_2 = 1000 + 0.36 = 1000.36 \) cm³. Para encontrar el incremento en la arista, \( \Delta a \), usamos la fórmula del diferencial: \( dV = 3a^{2} da \) Donde \( dV = 0.36 \) cm³ y \( a = 10 \) cm. Entonces, \( 0.36 = 3(10)^{2} da \) \( 0.36 = 300 da \) \( da = \frac{0.36}{300} = 0.0012 \) cm. Entonces, la arista debe incrementarse en 0.0012 cm para que el volumen aumente en 0.36 cm³.