Exercice 2 Étudier les variations des fonctions \( f \) définies sur \( \mathbb{R} \) par: \( \begin{array}{l}\text { a) } f(x)=-3 x^{2}+2 x+4 \\ \text { b) } f(x)=5 x^{2}+5 x-3 \\ \text { c) Soit } f(x)=-\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+2 x+3 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : } 1 \text { et }-2 \\ \text { d) } f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{5}{2} x^{2}+4 x-5 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : }-1 \text { et }-4 \\ \text { e) } f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1 \text {, on admet que } f^{\prime}(x) \text { n'a aucune racine. } \\ \text { f) } f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1 \text {, on admet que les racines de } f^{\prime}(x) \text { sont : } 1 \text { et }-\frac{1}{3}\end{array} \)

Commençons par examiner la première fonction \( f(x) = -3x^2 + 2x + 4 \). C'est une fonction quadratique, ce qui signifie qu'elle a une forme de parabole. Ici, le coefficient de \( x^2 \) est négatif, indiquant que la parabole s'ouvre vers le bas. Pour trouver les variations, on peut calculer le sommet de la parabole en utilisant la formule \( x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times -3} = \frac{1}{3} \). En évaluant \( f \) en ce point, on pourra déterminer les valeurs maximales et les intervalles de croissance et de décroissance. Passons maintenant à la fonction \( f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \). On nous dit que \( f'(x) \) n’a aucune racine, ce qui signifie que la dérivée est toujours positive ou toujours négative. En fait, la dérivée \( f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) est un trinôme dont le discriminant est négatif (\( 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 < 0 \)), donc il ne croise jamais l'axe des abscisses. Cela implique que \( f(x) \) est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \). En d'autres termes, plus on avance sur l'axe des x, plus les valeurs de \( f(x) \) augmentent.