EXERCICE5 (O4pts) Pour une bonne préparation à l'examen du Baccalauréat de fin d'année session 2025 , Un groupe d'élèves du Lycée OUEZZIN COULIBALY s'organisent pour etudier chaque week-end, tous doivent donner la même somme d'argent pour acheter de quoi manger et le matériel ; ils votent un budget de 120.000 F : juste avant la cotisation, 4 élèves s'ajoutent et la somme de chaque èleve est réduite de 1000 F . Curieux, des élèves de la classe de Premiere D presents, desirent connaitre le nombre d'éleves que comptent ce groupe d'etudes ainsi que la cotisation finale de chacun. En vous basant sur vos connaissances mathématiques, aides-les à déterminer le nombre d'èeves que comptent ce groupe d'études ainsi que la cotisation finale de chacun.

Pour résoudre ce problème, définissons d’abord le nombre d'élèves dans le groupe initial comme \( n \). L'objectif est de déterminer à la fois \( n \) et le montant de la cotisation par élève. Pour commencer, lorsque 4 élèves supplémentaires rejoignent le groupe, le nombre total d'élèves devient \( n + 4 \). Le budget total est de 120.000 F, donc la cotisation initiale par élève est \( \frac{120.000}{n} \). Après l’ajout des 4 élèves, la nouvelle cotisation par élève est \( \frac{120.000}{n + 4} \). Selon l’information donnée, la nouvelle cotisation est de 1000 F inférieure à l’ancienne cotisation : \[ \frac{120.000}{n} - \frac{120.000}{n + 4} = 1000 \] En multipliant les deux côtés par \( n(n + 4) \), nous avons : \[ 120.000(n + 4) - 120.000n = 1000n(n + 4) \] Cela simplifie à : \[ 120.000 \times 4 = 1000n(n + 4) \] En divisant par 1000 : \[ 480 = n(n + 4) \] Cela donne l’équation quadratique : \[ n^2 + 4n - 480 = 0 \] Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la formule quadratique \( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), où \( a=1, b=4, c=-480 \). Calculons le discriminant : \[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 1 \times (-480) = 16 + 1920 = 1936 \] Alors, \[ n = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2} = \frac{-4 \pm 44}{2} \] Cela nous donne deux possibilités : 1. \( n = \frac{40}{2} = 20 \) 2. \( n = \frac{-48}{2} \) (non valable car on ne peut pas avoir un nombre d'élèves négatif) Donc, il y a 20 élèves dans le groupe d’études. Pour la cotisation finale de chacun, utilisons le nombre trouvé : \[ \text{Cotisation initiale} = \frac{120.000}{20} = 6000 \, F \] Et après l'ajout des 4 élèves : \[ \text{Cotisation finale} = \frac{120.000}{20 + 4} = \frac{120.000}{24} = 5000 \, F \] En résumé, le groupe compte 20 élèves et la cotisation finale de chacun est de 5000 F.