Dit word gegee dat: \( m=x(x-y)^{2} \) Bereken die waarde van \( m \) indien \( x y^{2}=4 \) en \( x^{3}-2 x^{2} y=3 \)

Om die waarde van \( m \) te bereken, begin ons met die gegewe vergelykings: 1. \( x y^{2} = 4 \) 2. \( x^{3} - 2 x^{2} y = 3 \) Van die eerste vergelyking kan ons \( y^{2} \) vind: \[ y^{2} = \frac{4}{x} \] Nou kan ons \( y \) bereken deur die vierkantswortel van \( y^{2} \) te neem: \[ y = \sqrt{\frac{4}{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}} \] Nou kan ons \( y \) in die tweede vergelyking plaas: \[ x^{3} - 2x^{2} \left(\frac{2}{\sqrt{x}}\right) = 3 \] Maak dit eenvoudiger: \[ x^{3} - \frac{4x^{2}}{\sqrt{x}} = 3 \] Dit is dieselfde as: \[ x^{3} - 4x^{\frac{3}{2}} = 3 \] Laat ons \( z = \sqrt{x} \), dan is \( x = z^{2} \): \[ (z^{2})^{3} - 4(z^{2})^{\frac{3}{2}} = 3 \] Wat lei tot: \[ z^{6} - 4z^{3} = 3 \] Nou, stel \( u = z^{3} \), dan kan ons dit skryf as: \[ u^{2} - 4u - 3 = 0 \] Gebruik die kwadratiese formule \( u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ u = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7} \] Nou is ons geïnteresseerd in die waarde van \( z^{3} \), so ons het: \[ z^{3} = 2 + \sqrt{7} \quad \text{(ons kan nie 'n negatiewe waarde hê vir } z^3\text{)} \] Gaan nou terug na \( x \): \[ \sqrt{x} = z = (2+\sqrt{7})^{\frac{1}{3}} \] Terug na \( m \): \[ m = x(x-y)^{2} \] Ons het: \[ x = z^{2} = (2+\sqrt{7})^{\frac{2}{3}} \] Bereken \( y \): \[ y = \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{2}{(2+\sqrt{7})^{\frac{1}{3}}} \] Bereken \( x - y \): \[ x-y = (2+\sqrt{7})^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{(2+\sqrt{7})^{\frac{1}{3}}} \] Uiteindelik invul in die formule van \( m \) om die finale antwoorde te kry. Dit is ‘n redelike moeisame proses, maar hopelik het jy ‘n bietjie meer insig in die probleem gekry en die metodes achter die oplossing verstaan!