1. Realiza la siguiente división de fracciones algebraicas: \( \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \div \frac{4 x^{2}-8 x-5}{8 x^{2}+6 x+1} \) (o) (o) \( \frac{2 x-1}{3 x-1} \) (o) \( \frac{3 x-1}{2 x-5} \) \( \frac{2 x+1}{3 x-1} \)

Para resolver la división de fracciones algebraicas, utilizamos la propiedad de que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa. Por lo tanto, la expresión que tenemos es: \[ \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \div \frac{4 x^{2}-8 x-5}{8 x^{2}+6 x+1} = \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \cdot \frac{8 x^{2}+6 x+1}{4 x^{2}-8 x-5} \] Ahora, procederemos a simplificar cada parte de la expresión. Primero, factorizaremos los polinomios en el numerador y el denominador. ### Paso 1: Factorizar los polinomios 1. **Factorizar \(6 x^{2}-5 x+1\)** 2. **Factorizar \(12 x^{2}-x-1\)** 3. **Factorizar \(4 x^{2}-8 x-5\)** 4. **Factorizar \(8 x^{2}+6 x+1\)** Voy a realizar estas factorizaciones. Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(12x^{2}-x-1\) - step1: Rewrite the expression: \(12x^{2}+\left(3-4\right)x-1\) - step2: Calculate: \(12x^{2}+3x-4x-1\) - step3: Rewrite the expression: \(3x\times 4x+3x-4x-1\) - step4: Factor the expression: \(3x\left(4x+1\right)-\left(4x+1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(3x-1\right)\left(4x+1\right)\) Factor the expression \( 6 x^{2}-5 x+1 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(6x^{2}-5x+1\) - step1: Rewrite the expression: \(6x^{2}+\left(-2-3\right)x+1\) - step2: Calculate: \(6x^{2}-2x-3x+1\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 3x-2x-3x+1\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\) Factor the expression \( 8 x^{2}+6 x+1 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(8x^{2}+6x+1\) - step1: Rewrite the expression: \(8x^{2}+\left(2+4\right)x+1\) - step2: Calculate: \(8x^{2}+2x+4x+1\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 4x+2x+4x+1\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(4x+1\right)+4x+1\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x+1\right)\left(4x+1\right)\) Factor the expression \( 4 x^{2}-8 x-5 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(4x^{2}-8x-5\) - step1: Rewrite the expression: \(4x^{2}+\left(2-10\right)x-5\) - step2: Calculate: \(4x^{2}+2x-10x-5\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 2x+2x-5\times 2x-5\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(2x+1\right)-5\left(2x+1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)\) Las factorizaciones de los polinomios son las siguientes: 1. \(6 x^{2}-5 x+1 = (2x-1)(3x-1)\) 2. \(12 x^{2}-x-1 = (3x-1)(4x+1)\) 3. \(4 x^{2}-8 x-5 = (2x-5)(2x+1)\) 4. \(8 x^{2}+6 x+1 = (2x+1)(4x+1)\) ### Paso 2: Sustituir las factorizaciones en la expresión Sustituyendo las factorizaciones en la expresión original, tenemos: \[ \frac{(2x-1)(3x-1)}{(3x-1)(4x+1)} \cdot \frac{(2x+1)(4x+1)}{(2x-5)(2x+1)} \] ### Paso 3: Simplificar la expresión Ahora, simplificamos la expresión. Observamos que \( (3x-1) \) y \( (2x+1) \) se cancelan en el numerador y el denominador: \[ \frac{(2x-1) \cancel{(3x-1)}}{\cancel{(3x-1)}(4x+1)} \cdot \frac{\cancel{(2x+1)}(4x+1)}{(2x-5)\cancel{(2x+1)}} \] Esto nos deja con: \[ \frac{(2x-1)(4x+1)}{(2x-5)(4x+1)} \] ### Paso 4: Cancelar términos comunes Ahora, podemos cancelar \( (4x+1) \) en el numerador y el denominador: \[ \frac{(2x-1)}{(2x-5)} \] ### Resultado Final Por lo tanto, la solución a la división de fracciones algebraicas es: \[ \frac{2x-1}{2x-5} \] Ninguna de las opciones dadas coincide con este resultado. Si necesitas más ayuda o aclaraciones, no dudes en preguntar.