Pregunta
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1. Realiza la siguiente división de fracciones algebraicas: \( \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \div \frac{4 x^{2}-8 x-5}{8 x^{2}+6 x+1} \) (o) (o) \( \frac{2 x-1}{3 x-1} \) (o) \( \frac{3 x-1}{2 x-5} \) \( \frac{2 x+1}{3 x-1} \)

Ask by Colon Bartlett. in Mexico
Mar 16,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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La respuesta es \( \frac{2x-1}{2x-5} \).

Solución

Para resolver la división de fracciones algebraicas, utilizamos la propiedad de que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa. Por lo tanto, la expresión que tenemos es: \[ \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \div \frac{4 x^{2}-8 x-5}{8 x^{2}+6 x+1} = \frac{6 x^{2}-5 x+1}{12 x^{2}-x-1} \cdot \frac{8 x^{2}+6 x+1}{4 x^{2}-8 x-5} \] Ahora, procederemos a simplificar cada parte de la expresión. Primero, factorizaremos los polinomios en el numerador y el denominador. ### Paso 1: Factorizar los polinomios 1. **Factorizar \(6 x^{2}-5 x+1\)** 2. **Factorizar \(12 x^{2}-x-1\)** 3. **Factorizar \(4 x^{2}-8 x-5\)** 4. **Factorizar \(8 x^{2}+6 x+1\)** Voy a realizar estas factorizaciones. Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(12x^{2}-x-1\) - step1: Rewrite the expression: \(12x^{2}+\left(3-4\right)x-1\) - step2: Calculate: \(12x^{2}+3x-4x-1\) - step3: Rewrite the expression: \(3x\times 4x+3x-4x-1\) - step4: Factor the expression: \(3x\left(4x+1\right)-\left(4x+1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(3x-1\right)\left(4x+1\right)\) Factor the expression \( 6 x^{2}-5 x+1 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(6x^{2}-5x+1\) - step1: Rewrite the expression: \(6x^{2}+\left(-2-3\right)x+1\) - step2: Calculate: \(6x^{2}-2x-3x+1\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 3x-2x-3x+1\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\) Factor the expression \( 8 x^{2}+6 x+1 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(8x^{2}+6x+1\) - step1: Rewrite the expression: \(8x^{2}+\left(2+4\right)x+1\) - step2: Calculate: \(8x^{2}+2x+4x+1\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 4x+2x+4x+1\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(4x+1\right)+4x+1\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x+1\right)\left(4x+1\right)\) Factor the expression \( 4 x^{2}-8 x-5 \). Factor the expression by following steps: - step0: Factor: \(4x^{2}-8x-5\) - step1: Rewrite the expression: \(4x^{2}+\left(2-10\right)x-5\) - step2: Calculate: \(4x^{2}+2x-10x-5\) - step3: Rewrite the expression: \(2x\times 2x+2x-5\times 2x-5\) - step4: Factor the expression: \(2x\left(2x+1\right)-5\left(2x+1\right)\) - step5: Factor the expression: \(\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)\) Las factorizaciones de los polinomios son las siguientes: 1. \(6 x^{2}-5 x+1 = (2x-1)(3x-1)\) 2. \(12 x^{2}-x-1 = (3x-1)(4x+1)\) 3. \(4 x^{2}-8 x-5 = (2x-5)(2x+1)\) 4. \(8 x^{2}+6 x+1 = (2x+1)(4x+1)\) ### Paso 2: Sustituir las factorizaciones en la expresión Sustituyendo las factorizaciones en la expresión original, tenemos: \[ \frac{(2x-1)(3x-1)}{(3x-1)(4x+1)} \cdot \frac{(2x+1)(4x+1)}{(2x-5)(2x+1)} \] ### Paso 3: Simplificar la expresión Ahora, simplificamos la expresión. Observamos que \( (3x-1) \) y \( (2x+1) \) se cancelan en el numerador y el denominador: \[ \frac{(2x-1) \cancel{(3x-1)}}{\cancel{(3x-1)}(4x+1)} \cdot \frac{\cancel{(2x+1)}(4x+1)}{(2x-5)\cancel{(2x+1)}} \] Esto nos deja con: \[ \frac{(2x-1)(4x+1)}{(2x-5)(4x+1)} \] ### Paso 4: Cancelar términos comunes Ahora, podemos cancelar \( (4x+1) \) en el numerador y el denominador: \[ \frac{(2x-1)}{(2x-5)} \] ### Resultado Final Por lo tanto, la solución a la división de fracciones algebraicas es: \[ \frac{2x-1}{2x-5} \] Ninguna de las opciones dadas coincide con este resultado. Si necesitas más ayuda o aclaraciones, no dudes en preguntar.

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Extra Insights

Para realizar la división de fracciones algebraicas, primero convertimos la división en una multiplicación al multiplicar por el recíproco de la segunda fracción. Así que la operación queda: \[ \frac{6x^{2}-5x+1}{12x^{2}-x-1} \times \frac{8x^{2}+6x+1}{4x^{2}-8x-5} \] Luego, factoramos las expresiones en el numerador y el denominador si es posible para simplificar. Después de realizar los pasos necesarios, se llega a la simplificación final. Como resultado de esta simplificación, podemos ver que \( \frac{2x-1}{3x-1} \) es hito importante en el contexto de esta operación de división, analizando cómo se relacionan las diferentes partes de las expresiones al ser multiplicadas. Recuerda que al trabajar con fracciones algebraicas es fundamental verificar si hay algún factor común para cancelar y simplificar las expresiones, evitando errores comunes como olvidar estos pasos. ¡Un poco de atención a los detalles puede ahorrarte mucho tiempo!

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