Instrucciones: En tu cuaderno, realiza el diagrama de cada situación y resuelve los siguientes problemas planteados. 1. De lo alto de un poste de electricidad está unido un cable que tiene una longitud de 8.2 metros, si está agarrado a 4.2 metros de la base del poste. ¿Cuál es su altura? 2. Una escalera de 5 m está apoyada sobre la pared en un edificio. ¿A qué distancia de la base del edificio se debe apoyar la escalera para que alcance una altura de 4.5 m ? 3. Un corredor avanza una distancia de 4 km al este y después se dirige al sur una distancia 6 km . ¿Cuál es el desplazamiento del corredor desde el punto de partida al punto de llegada?

Question

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Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados paso a paso.

### Problema 1
**Situación:** Un cable de 8.2 metros está unido a un poste de electricidad y se sostiene a 4.2 metros de la base del poste. Queremos encontrar la altura del poste.

**Diagrama:**
- Imaginemos un triángulo rectángulo donde:
  - La altura del poste es un cateto vertical (h).
  - La distancia desde la base del poste hasta el punto donde se sostiene el cable es el cateto horizontal (4.2 m).
  - La longitud del cable es la hipotenusa (8.2 m).

**Aplicamos el teorema de Pitágoras:**
$$
h^2 + 4.2^2 = 8.2^2
$$

**Resolviendo:**
1. Calculamos $$4.2^2$$ y $$8.2^2$$:
   - $$4.2^2 = 17.64$$
   - $$8.2^2 = 67.24$$

2. Sustituyendo en la ecuación:
$$
h^2 + 17.64 = 67.24
$$

3. Restamos $$17.64$$ de ambos lados:
$$
h^2 = 67.24 - 17.64 = 49.6
$$

4. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada:
$$
h = \sqrt{49.6}
$$

Ahora, procederé a calcular $$h$$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{49.6}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\frac{248}{5}}$$
- step2: Use the properties of radicals:
  $$\frac{\sqrt{248}}{\sqrt{5}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{2\sqrt{62}}{\sqrt{5}}$$
- step4: Multiply by the Conjugate:
  $$\frac{2\sqrt{62}\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$$
- step5: Multiply the numbers:
  $$\frac{2\sqrt{310}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$$
- step6: Multiply the numbers:
  $$\frac{2\sqrt{310}}{5}$$
La altura del poste es aproximadamente $$ h \approx 7.04 $$ metros.

### Problema 2
**Situación:** Una escalera de 5 metros está apoyada sobre una pared y alcanza una altura de 4.5 metros. Queremos encontrar la distancia desde la base del edificio hasta la base de la escalera.

**Diagrama:**
- Imaginemos otro triángulo rectángulo donde:
  - La altura que alcanza la escalera es un cateto vertical (4.5 m).
  - La distancia desde la base del edificio hasta la base de la escalera es el cateto horizontal (d).
  - La longitud de la escalera es la hipotenusa (5 m).

**Aplicamos el teorema de Pitágoras:**
$$
d^2 + 4.5^2 = 5^2
$$

**Resolviendo:**
1. Calculamos $$4.5^2$$ y $$5^2$$:
   - $$4.5^2 = 20.25$$
   - $$5^2 = 25$$

2. Sustituyendo en la ecuación:
$$
d^2 + 20.25 = 25
$$

3. Restamos $$20.25$$ de ambos lados:
$$
d^2 = 25 - 20.25 = 4.75
$$

4. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada:
$$
d = \sqrt{4.75}
$$

Ahora, procederé a calcular $$d$$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{4.75}$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\sqrt{\frac{19}{4}}$$
- step2: Use the properties of radicals:
  $$\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{4}}$$
- step3: Simplify the expression:
  $$\frac{\sqrt{19}}{2}$$
La distancia desde la base del edificio hasta la base de la escalera es aproximadamente $$ d \approx 2.18 $$ metros.

### Problema 3
**Situación:** Un corredor avanza 4 km al este y luego 6 km al sur. Queremos encontrar el desplazamiento total del corredor desde el punto de partida hasta el punto de llegada.

**Diagrama:**
- Imaginemos un triángulo rectángulo donde:
  - La distancia recorrida al este es un cateto horizontal (4 km).
  - La distancia recorrida al sur es un cateto vertical (6 km).
  - El desplazamiento total es la hipotenusa (D).

**Aplicamos el teorema de Pitágoras:**
$$
D^2 = 4^2 + 6^2
$$

**Resolviendo:**
1. Calculamos $$4^2$$ y $$6^2$$:
   - $$4^2 = 16$$
   - $$6^2 = 36$$

2. Sustituyendo en la ecuación:
$$
D^2 = 16 + 36 = 52
$$

3. Finalmente, tomamos la raíz cuadrada:
$$
D = \sqrt{52}
$$

Ahora, procederé a calcular $$D$$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\sqrt{52}$$
- step1: Write as a product:
  $$\sqrt{4\times 13}$$
- step2: Write in exponential form:
  $$\sqrt{2^{2}\times 13}$$
- step3: Use the properties of radicals:
  $$\sqrt{2^{2}}\times \sqrt{13}$$
- step4: Simplify the root:
  $$2\sqrt{13}$$
El desplazamiento del corredor desde el punto de partida hasta el punto de llegada es aproximadamente $$ D \approx 7.21 $$ kilómetros.

### Resumen de Resultados
1. La altura del poste es aproximadamente $$ 7.04 $$ metros.
2. La distancia desde la base del edificio hasta la base de la escalera es aproximadamente $$ 2.18 $$ metros.
3. El desplazamiento del corredor es aproximadamente $$ 7.21 $$ kilómetros.
1. La altura del poste es aproximadamente 7.04 metros. 2. La distancia desde la base del edificio hasta la base de la escalera es aproximadamente 2.18 metros. 3. El desplazamiento del corredor es aproximadamente 7.21 kilómetros.

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