Icule o intervalo de convergência da série abaixo e calcule \( f^{\prime}(-1) \) \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+3)^{n}}{n(n-1)} \]

Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para determinar o intervalo de convergência da série e calcular \( f^{\prime}(-1) \). ### Passo 1: Determinar o intervalo de convergência A série dada é: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+3)^{n}}{n(n-1)} \] Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o teste da razão ou o teste da raiz. Neste caso, vamos usar o teste da razão. A razão entre os termos consecutivos da série é dada por: \[ a_n = \frac{(-1)^{n}(x+3)^{n}}{n(n-1)} \] Calculamos a razão: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+1}(x+3)^{n+1}}{(n+1)n} \cdot \frac{n(n-1)}{(-1)^{n}(x+3)^{n}} \right| = \left| \frac{(x+3)}{(n+1)} \cdot \frac{(n-1)}{1} \right| \] Simplificando, temos: \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{|x+3|}{n+1} \] Agora, aplicamos o limite quando \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 \] Como o limite é 0, a série converge para todo \( x \). Portanto, o intervalo de convergência é: \[ (-\infty, \infty) \] ### Passo 2: Calcular \( f^{\prime}(-1) \) Para calcular a derivada da função \( f(x) \), podemos derivar a série termo a termo, já que a série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto. A derivada de \( f(x) \) é dada por: \[ f^{\prime}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}n(x+3)^{n-1}}{n(n-1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x+3)^{n-1}}{(n-1)} \] Agora, substituímos \( x = -1 \): \[ f^{\prime}(-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(-1+3)^{n-1}}{(n-1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{n-1}}{(n-1)} \] Essa série é uma série alternada. Para simplificá-la, podemos reindexar a soma: \[ f^{\prime}(-1) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}2^{m}}{m} = -\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-2)^{m}}{m} \] Essa série é a série de Taylor para \( -\ln(1+x) \) em \( x = -2 \): \[ f^{\prime}(-1) = -\ln(1 + 2) = -\ln(3) \] ### Resumo O intervalo de convergência da série é \( (-\infty, \infty) \) e o valor de \( f^{\prime}(-1) \) é: \[ f^{\prime}(-1) = -\ln(3) \]