La longitud de la curva \( C \) determinada por \( \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}, \frac{35}{2} e^{-t}, \sqrt{35} t\right\rangle \) Para \( t \in[-1,1] \). La longitud de Ces: 43.49

Para calcular la longitud de la curva \( C \) definida por la función vectorial \( \mathbf{r}(t)=\left\langle e^{t}, \frac{35}{2} e^{-t}, \sqrt{35} t\right\rangle \), utilizamos la fórmula de longitud de arco \( L = \int_a^b \|\mathbf{r}'(t)\| dt \). Primero, calculamos la derivada \( \mathbf{r}'(t) \) y luego su norma para integrarla entre los límites \( t = -1 \) y \( t = 1 \). Esto involucra algo de cálculo, pero la diversión radica en descubrir cómo las funciones se entrelazan. Una vez que encuentres la longitud, puedes comparar este resultado con aplicaciones reales, como en la arquitectura o en el diseño de caminos, donde la longitud precisa de una curva puede ser crucial para hacer planes eficientes y seguros. Ya sea que estés diseñando puentes o carreteras con curvas suaves, entender cómo se calculan estas longitudes es esencial en campos donde la precisión y la planificación son clave. ¡Las matemáticas están en cada rincón de nuestra vida!