$$ \left. \begin{array} { l } { 147 \int _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } \frac { 1 } { 9 + x ^ { 2 } } d x } \ { u ^ { 2 } = x ^ { 2 } a ^ { 2 } = 9 \quad a = 3 } \ { u = x \quad d u = d x } \ { = \int _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x } { 3 } ) + c ] _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } } \ { = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { 3 } { 3 } ) - [ \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ] } \ { = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( 1 ) - [ \frac { 1 } { 3 } \cdot \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ] } \ { = \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 \pi } { 4 } ) - [ \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { 6 } \pi ) ] } \ { = \frac { 1 } { 12 } \pi - [ \frac { 1 } { 18 } \pi ] } \ { = \frac { 1 } { 12 } \pi - \frac { 1 } { 18 } \pi = \frac { 1 } { 36 } \pi } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { 147 \int _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } \frac { 1 } { 9 + x ^ { 2 } } d x } \ { u ^ { 2 } = x ^ { 2 } a ^ { 2 } = 9 \quad a = 3 } \ { u = x \quad d u = d x } \ { = \int _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } \frac { 1 } { a ^ { 2 } + u ^ { 2 } } d u = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { x } { 3 } ) + c ] _ { \sqrt { 3 } } ^ { 3 } } \ { = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { 3 } { 3 } ) - [ \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ] } \ { = \frac { 1 } { 3 } \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( 1 ) - [ \frac { 1 } { 3 } \cdot \operatorname { Tan } ^ { - 1 } ( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ) ] } \ { = \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 \pi } { 4 } ) - [ \frac { 1 } { 3 } ( \frac { 1 } { 6 } \pi ) ] } \ { = \frac { 1 } { 12 } \pi - [ \frac { 1 } { 18 } \pi ] } \ { = \frac { 1 } { 12 } \pi - \frac { 1 } { 18 } \pi = \frac { 1 } { 36 } \pi } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar el valor de la integral dada, primero sustituimos los valores de $$u$$ y $$du$$ en la integral y luego evaluamos los límites de integración.

Dado que $$u = x$$ y $$du = dx$$, la integral se convierte en:

$$
\int_{\sqrt{3}}^{3} \frac{1}{9 + u^2} du
$$

Sustituyendo $$u^2 = x^2$$ y $$a^2 = 9$$, la integral se simplifica a:

$$
\int_{\sqrt{3}}^{3} \frac{1}{a^2 + u^2} du
$$

Sustituyendo $$a = 3$$, la integral se convierte en:

$$
\int_{\sqrt{3}}^{3} \frac{1}{3^2 + u^2} du
$$

Evaluando la integral, obtenemos:

$$
\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + c
$$

Aplicando los límites de integración, obtenemos:

$$
\frac{1}{3} \arctan\left(\frac{3}{3}\right) - \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
$$

Simplificando, obtenemos:

$$
\frac{1}{3} \arctan(1) - \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)
$$

Evaluando los arctangentes, obtenemos:

$$
\frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} \pi
$$

Simplificando, obtenemos:

$$
\frac{1}{12} \pi - \frac{1}{18} \pi
$$

Finalmente, obtenemos:

$$
\frac{1}{36} \pi
$$

Por lo tanto, el valor de la integral dada es $$\frac{1}{36} \pi$$.
El valor de la integral es $$ \frac{1}{36} \pi $$.

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