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\[ \int_{5}^{14} f(x) d x-\int_{5}^{7} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \] where \( a=\square \) and \( b=\square \)

Ask by Sanders Pierce. in the United States
Feb 27,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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a = 7 and b = 14

Solución

To solve the given expression   ∫₅¹⁴ f(x) dx - ∫₅⁷ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx, we can use the property of definite integrals that states:   ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx + ∫꜀ᵇ f(x) dx  (for a ≤ c ≤ b). Here, if we let a = 5, c = 7, and b = 14, then   ∫₅¹⁴ f(x) dx = ∫₅⁷ f(x) dx + ∫₇¹⁴ f(x) dx. Subtracting ∫₅⁷ f(x) dx from both sides gives:   ∫₅¹⁴ f(x) dx - ∫₅⁷ f(x) dx = ∫₇¹⁴ f(x) dx. Thus, comparing with the original equation, the values are:   a = 7   b = 14.

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Beyond the Answer

To solve the equation, we start with the first integral, which represents the total area under the curve \( f(x) \) from \( x = 5 \) to \( x = 14 \). Then we subtract the area from \( x = 5 \) to \( x = 7 \). This gives us the area from \( x = 7 \) to \( x = 14 \). Therefore, we can express the original equation as: \[ \int_{5}^{14} f(x) d x - \int_{5}^{7} f(x) d x = \int_{7}^{14} f(x) d x \] Thus, we can conclude that \( a = 7 \) and \( b = 14 \).

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