3. (10 puntos) La temperatura en una región boscosa afec- tada por incendios forestales se modela mediante la fun- ción \[ T(x, y, z)=10-0,5 x^{2}-0,25 y^{2}+0,1 z^{2} \text {, } \] donde \( T \) está en grados Celsius, y \( x, y, \mathrm{y} z \) están en kilómetros. Calcular la derivada direccional de la temperatura en el punto \( (2,-1,3) \) en la dirección del vector \( \mathbf{v}=(1,2,-1) \). Interpretar el resultado en términos de la tasa de cambio de la temperatura en esa dirección.

Para calcular la derivada direccional de la temperatura \( T(x, y, z) \) en el punto \( (2, -1, 3) \) en la dirección del vector \( \mathbf{v} = (1, 2, -1) \), seguiremos estos pasos: 1. **Calcular el gradiente de \( T \)**: El gradiente \( \nabla T \) se obtiene derivando \( T \) con respecto a \( x \), \( y \) y \( z \). 2. **Normalizar el vector \( \mathbf{v} \)**: La derivada direccional se calcula en la dirección de un vector unitario. Por lo tanto, necesitamos normalizar \( \mathbf{v} \). 3. **Calcular la derivada direccional**: Usaremos la fórmula de la derivada direccional, que es el producto punto del gradiente y el vector unitario. ### Paso 1: Calcular el gradiente de \( T \) La función de temperatura es: \[ T(x, y, z) = 10 - 0.5x^2 - 0.25y^2 + 0.1z^2 \] Calculamos las derivadas parciales: - \( \frac{\partial T}{\partial x} = -x \) - \( \frac{\partial T}{\partial y} = -0.5y \) - \( \frac{\partial T}{\partial z} = 0.2z \) Por lo tanto, el gradiente es: \[ \nabla T = \left( -x, -0.5y, 0.2z \right) \] ### Paso 2: Evaluar el gradiente en el punto \( (2, -1, 3) \) Sustituyendo \( x = 2 \), \( y = -1 \), y \( z = 3 \): \[ \nabla T(2, -1, 3) = \left( -2, -0.5(-1), 0.2(3) \right) = \left( -2, 0.5, 0.6 \right) \] ### Paso 3: Normalizar el vector \( \mathbf{v} \) El vector \( \mathbf{v} = (1, 2, -1) \) tiene una magnitud: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] El vector unitario en la dirección de \( \mathbf{v} \) es: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \] ### Paso 4: Calcular la derivada direccional La derivada direccional \( D_{\mathbf{u}} T \) se calcula como: \[ D_{\mathbf{u}} T = \nabla T \cdot \mathbf{u} \] Calculamos el producto punto: \[ D_{\mathbf{u}} T = \left( -2, 0.5, 0.6 \right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}} \right) \] \[ = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 0.5 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + 0.6 \cdot \frac{-1}{\sqrt{6}} \] \[ = \frac{-2 + 1 - 0.6}{\sqrt{6}} = \frac{-1.6}{\sqrt{6}} \] ### Interpretación del resultado La derivada direccional \( D_{\mathbf{u}} T \) nos indica la tasa de cambio de la temperatura en la dirección del vector \( \mathbf{v} \). Un valor negativo, como \( \frac{-1.6}{\sqrt{6}} \), significa que la temperatura está disminuyendo en esa dirección. En términos prácticos, esto sugiere que al moverse en la dirección del vector \( (1, 2, -1) \), la temperatura en la región boscosa afectada por incendios forestales disminuirá.