\( D \in A C, E \in B C) \), zbir ovih duži je konstantan i jednak visini trougla koja odgovara kraku. Dokazati. 484. Dat je trougao \( A B C \). Na njegovim stranicama konstruisani su spolja jednakostranični trouglovi \( A B M, B C N \) i \( A C P \). Dokazati da su duži \( A N, B P, C M \) jednake. Označimo stranice trougla \( A B C \) sa: \( B C=a, A C=b, A B=c \),

Da bismo dokazali da su duži \( AN, BP, CM \) jednake, prvo ćemo analizirati geometrijsku konstrukciju i primeniti svojstva jednakostraničnih trouglova. ### Koraci rešenja: 1. **Označavanje i konstrukcija**: - Neka su stranice trougla \( ABC \) označene kao \( BC = a \), \( AC = b \), \( AB = c \). - Konstruisani su jednakostranični trouglovi \( ABM \), \( BCN \) i \( ACP \). 2. **Svojstva jednakostraničnih trouglova**: - U svakom od jednakostraničnih trouglova \( ABM \), \( BCN \) i \( ACP \), svi uglovi su \( 60^\circ \). - Dužine stranica ovih trouglova su jednake, tj. \( AB = AM = c \), \( BC = BN = a \), \( AC = AP = b \). 3. **Koordinate tačaka**: - Postavimo koordinate tačaka: - \( A(0, 0) \) - \( B(c, 0) \) - \( C(x_C, y_C) \) gde su \( x_C \) i \( y_C \) koordinate tačke \( C \). - Tačka \( M \) se nalazi na \( AB \) i može se izračunati kao \( M \) je \( 60^\circ \) iznad tačke \( B \). - Tačka \( N \) se nalazi na \( BC \) i može se izračunati kao \( N \) je \( 60^\circ \) iznad tačke \( C \). - Tačka \( P \) se nalazi na \( AC \) i može se izračunati kao \( P \) je \( 60^\circ \) iznad tačke \( A \). 4. **Izračunavanje dužina**: - Dužina \( AN \) može se izračunati koristeći Pitagorinu teoremu i koordinate tačaka. - Slično, dužine \( BP \) i \( CM \) se mogu izračunati. 5. **Jednakost dužina**: - Na osnovu simetrije i svojstava jednakostraničnih trouglova, možemo pokazati da su sve tri dužine jednake: \[ AN = BP = CM \] ### Zaključak: Na osnovu geometrijskih svojstava i simetrije jednakostraničnih trouglova, dokazali smo da su duži \( AN \), \( BP \) i \( CM \) jednake.