Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng \( (\alpha): 3 x-2 y+2 z+7=0,(\beta): 5 x-4 y+3 z+1=0 \). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \) đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) là: \( \begin{array}{llll}\text { A. } 2 x-y-2 z=0 . & \text { B. } 2 x-y+2 z=0 . & \text { C. } 2 x+y-2 z=0 . & \text { D. } 2 x+y-2 z+1=0\end{array} \)

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và vuông góc với hai mặt phẳng \( (\alpha) \) và \( (\beta) \), ta thực hiện các bước sau: 1. **Xác định vector pháp tuyến của các mặt phẳng**: - Mặt phẳng \( (\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0 \) có vector pháp tuyến là \( \vec{n_1} = (3, -2, 2) \). - Mặt phẳng \( (\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0 \) có vector pháp tuyến là \( \vec{n_2} = (5, -4, 3) \). 2. **Tính tích có hướng của hai vector pháp tuyến**: - Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là tích có hướng của \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \): \[ \vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \] 3. **Tính toán tích có hướng**: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} \] Tính toán định thức: \[ \vec{n} = \hat{i}((-2) \cdot 3 - 2 \cdot (-4)) - \hat{j}(3 \cdot 3 - 2 \cdot 5) + \hat{k}(3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 5) \] \[ = \hat{i}(-6 + 8) - \hat{j}(9 - 10) + \hat{k}(-12 + 10) \] \[ = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2) \] \[ = (2, 1, -2) \] 4. **Viết phương trình mặt phẳng**: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 2x + 1y - 2z + d = 0 \] Vì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \), ta có \( d = 0 \). Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] 5. **So sánh với các đáp án**: - A. \( 2x - y - 2z = 0 \) - B. \( 2x - y + 2z = 0 \) - C. \( 2x + y - 2z = 0 \) (đúng) - D. \( 2x + y - 2z + 1 = 0 \) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \[ \text{C. } 2x + y - 2z = 0 \]