Pregunta
upstudy study bank question image url

Câu 11. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng \( (\alpha): 3 x-2 y+2 z+7=0,(\beta): 5 x-4 y+3 z+1=0 \). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \) đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) là: \( \begin{array}{llll}\text { A. } 2 x-y-2 z=0 . & \text { B. } 2 x-y+2 z=0 . & \text { C. } 2 x+y-2 z=0 . & \text { D. } 2 x+y-2 z+1=0\end{array} \)

Ask by Fleming Garrett. in Vietnam
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O \) và vuông góc với cả \( (\alpha) \) và \( (\beta) \) là \( 2x + y - 2z = 0 \).

Solución

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \) và vuông góc với hai mặt phẳng \( (\alpha) \) và \( (\beta) \), ta thực hiện các bước sau: 1. **Xác định vector pháp tuyến của các mặt phẳng**: - Mặt phẳng \( (\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0 \) có vector pháp tuyến là \( \vec{n_1} = (3, -2, 2) \). - Mặt phẳng \( (\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0 \) có vector pháp tuyến là \( \vec{n_2} = (5, -4, 3) \). 2. **Tính tích có hướng của hai vector pháp tuyến**: - Vector pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là tích có hướng của \( \vec{n_1} \) và \( \vec{n_2} \): \[ \vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} \] 3. **Tính toán tích có hướng**: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} \] Tính toán định thức: \[ \vec{n} = \hat{i}((-2) \cdot 3 - 2 \cdot (-4)) - \hat{j}(3 \cdot 3 - 2 \cdot 5) + \hat{k}(3 \cdot (-4) - (-2) \cdot 5) \] \[ = \hat{i}(-6 + 8) - \hat{j}(9 - 10) + \hat{k}(-12 + 10) \] \[ = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2) \] \[ = (2, 1, -2) \] 4. **Viết phương trình mặt phẳng**: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ 2x + 1y - 2z + d = 0 \] Vì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \( O(0, 0, 0) \), ta có \( d = 0 \). Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] 5. **So sánh với các đáp án**: - A. \( 2x - y - 2z = 0 \) - B. \( 2x - y + 2z = 0 \) - C. \( 2x + y - 2z = 0 \) (đúng) - D. \( 2x + y - 2z + 1 = 0 \) Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: \[ \text{C. } 2x + y - 2z = 0 \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

error msg
Explicar
Simplifique esta solución

Extra Insights

Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng đã cho, trước tiên ta cần xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là \( (3, -2, 2) \) và của mặt phẳng (β) là \( (5, -4, 3) \). Phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng \( ax + by + cz = 0 \), và vectơ pháp tuyến của nó là tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến đã cho. Tính tích vô hướng (cross product) để tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng mới: \[ \vec{n} = (3, -2, 2) \times (5, -4, 3) = ( (-2)(3) - (2)(-4), (2)(5) - (3)(3), (3)(-4) - (-2)(5) ) \] Tính toán cho từng phần: 1. Phần x: \( -6 + 8 = 2 \) 2. Phần y: \( 10 - 9 = 1 \) 3. Phần z: \( -12 + 10 = -2 \) Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \( \vec{n} = (2, 1, -2) \). Phương trình mặt phẳng sẽ là: \[ 2x + 1y - 2z = 0 \] Do đó, lựa chọn đúng là: **C. \( 2 x + y - 2 z = 0 \)**.

preguntas relacionadas

Latest Geometry Questions

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad